Question

AP26 В параллелограмме ABCD проведена диагональ АС. Точка 0 является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точкиО до точки А и прямых AD И АС соответственно равнь 5, 4 и 3. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Посмотри на фото

Answer 2

Для решения задачи нам необходимо воспользоваться свойствами окружности, вписанной в треугольник. Первое свойство, которое нам понадобится, гласит, что расстояние от центра вписанной окружности до вершины треугольника равно радиусу этой окружности. Также, известно, что касательная к окружности в точке касания перпендикулярна радиусу.

Обозначим радиус вписанной окружности как $r$. Таким образом, расстояние от точки $O$ до вершины $A$ треугольника $ABC$ равно $r$, расстояние от $O$ до прямой $AD$ равно $4$ (по условию), и расстояние от $O$ до прямой $AC$ равно $3$ (по условию).

Теперь рассмотрим треугольник $AOC$. Мы знаем, что $OA = r$ (радиус окружности), $OC = 3$ и $AC = 2r$ (так как $O$ - центр вписанной окружности). Используем теорему Пифагора для треугольника $AOC$:

$OA^2 + AC^2 = OC^2$ $r^2 + (2r)^2 = 3^2$ $5r^2 = 9$ $r^2 = \frac{9}{5}$

Теперь, зная радиус вписанной окружности, мы можем найти площадь параллелограмма $ABCD$. Площадь параллелограмма равна произведению длины основания $AB$ на высоту $h$:

$S_{ABCD} = AB \times h$

В параллелограмме $ABCD$, диагональ $AC$ является основанием, а высота $h$ проведена к этой основе из вершины $B$. Треугольник $ABC$ разделяется этой высотой на два треугольника равных площадей. Таким образом, площадь параллелограмма $ABCD$ равна удвоенной площади треугольника $ABC$:

$S_{ABCD} = 2 \times \frac{1}{2} \times AB \times h$ $S_{ABCD} = AB \times h$

Теперь нам нужно найти $AB$, что можно сделать, используя теорему Пифагора для треугольника $AOC$:

$AB^2 = OA^2 + OB^2$ $AB^2 = r^2 + (2r + 3)^2$ $AB^2 = \frac{9}{5} + 4r^2 + 12r + 9$ $AB^2 = \frac{9}{5} + \frac{4 \times 9}{5} + \frac{12 \times 3}{5} + 9$ $AB^2 = \frac{9 + 36 + 36 + 45}{5}$ $AB^2 = \frac{126}{5}$

Теперь можем найти $AB$:

$AB = \sqrt{\frac{126}{5}} = \frac{3\sqrt{14}}{\sqrt{5}}$

Итак, площадь параллелограмма $ABCD$ равна:

$S_{ABCD} = AB \times h = \frac{3\sqrt{14}}{\sqrt{5}} \times 4 = \frac{12\sqrt{14}}{\sqrt{5}}$