Question

Сформулируйте: определение пропорциональных отрезков, определение подобных треугольников, определение сходственных сторон треугольника, определение средней линии треугольника, признаки подобия треугольников. свойство высоты прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла, свойство биссектрисы треугольника, свойство медиан треугольника, теорему об отношении площадей подобных треугольников, теорему о средней линии треугольника, теорему Пифагора.

Answer 1

Ответ:

Отрезки, для длин которых выполняется пропорция

Подобные треугольники в евклидовой геометрии — треугольники, углы у которых соответственно равны, а стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.

Сходственные (или соответственные) стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов

Средняя линия фигур в планиметрии — отрезок, соединяющий середины двух сторон этой фигуры. Понятие употребляется для следующих фигур: треугольник, четырёхугольник, трапеция.

треугольники в евклидовой геометрии — треугольники, углы у которых соответственно равны, а стороны соответственно пропорциональны. Являются подобными фигурами. В данной статье рассматриваются свойства подобных треугольников в евклидовой геометрии. Некоторые утверждения являются неверными для неевклидовых геометрий.

MicroExcel.ru

MicroExcel.ru Математика Геометрия

МатематикаГеометрия

Свойства высоты прямоугольного треугольника

11.07.202052995

В данной публикации мы рассмотрим основные свойства высоты в прямоугольном треугольнике, а также разберем примеры решения задач по этой теме.

Примечание: треугольник называется прямоугольным, если один из его углов является прямым (равняется 90°), а два остальных – острые (<90°).

Содержание скрыть

Свойства высоты в прямоугольном треугольнике

Свойство 1

Свойство 2

Свойство 3

Свойство 4

Пример задачи

Свойства высоты в прямоугольном треугольнике

Свойство 1

В прямоугольном треугольнике две высоты (h1 и h2) совпадают с его катетами.

Три высоты в прямоугольном треугольнике

Третья высота (h3) опускается на гипотенузу из прямого угла.

Свойство 2

Ортоцентр (точка пересечения высот) прямоугольного треугольника находится в вершине прямого угла.

Свойство 3

Высота в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, делит его на два подобных прямоугольных треугольника, которые также подобны исходному.

Деление прямоугольного треугольника высотой из вершины прямого угла на подобные треугольники

1. △ABD ∼ △ABC по двум равным углам: ∠ADB = ∠BAC (прямые), ∠ABD = ∠ABC.

2. △ADC ∼ △ABC по двум равным углам: ∠ADC = ∠BAC (прямые), ∠ACD = ∠ACB.

3. △ABD ∼ △ADC по двум равным углам: ∠ABD = ∠DAC, ∠BAD = ∠ACD.

Доказательство: ∠BAD = 90° – ∠ABD (ABC). В то же время ∠ACD (ACB) = 90° – ∠ABC. Следовательно, ∠BAD = ∠ACD.

Аналогичным образом доказывается, что ∠ABD = ∠DAC.

Свойство 4

В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, вычисляется следующим образом:

1. Через отрезки на гипотенузе, образованные в результате ее деления основанием высоты:

Формула для нахождения высоты к гипотенузе в прямоугольном треугольнике

Высота к гипотенузе в прямоугольном треугольнике

2. Через длины сторон треугольника:

Формула для нахождения высоты к гипотенузе в прямоугольном треугольнике через его стороны

Высота к гипотенузе в прямоугольном треугольнике

Данная формула получена из Свойства синуса острого угла в прямоугольном треугольнике (синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе) :

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике (формула)

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике (формула)

Формула для нахождения высоты к гипотенузе в прямоугольном треугольнике через его стороны

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой, находящейся на противолежащей стороне

Answer 2

1. Определение пропорциональных отрезков: Два отрезка называются пропорциональными, если отношение длины первого отрезка к длине второго отрезка равно отношению длины третьего отрезка к длине четвертого отрезка.

2. Определение подобных треугольников: Два треугольника называются подобными, если соответствующие углы равны, и их стороны пропорциональны.

3. Определение сходственных сторон треугольника: Сходственными сторонами треугольника называются стороны, соединяющие одни и те же вершины в разных подобных треугольниках.

4. Определение средней линии треугольника: Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

5. Признаки подобия треугольников: Подобные треугольники имеют равные соответствующие углы и пропорциональные стороны.

6. Свойство высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла: Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делит треугольник на два подобных треугольника с исходным треугольником.

7. Свойство биссектрисы треугольника: Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки пропорциональные прилегающим сторонам.

8. Свойство медиан треугольника: Медиана треугольника делит ее на два подобных треугольника с исходным треугольником.

9. Теорема об отношении площадей подобных треугольников: Площади двух подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон.

10. Теорема о средней линии треугольника: Средняя линия треугольника равна половине длины основания, если треугольник разрезан параллельно к одной из его сторон.

11. Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.