Question

Задание 1 (25 баллов). Основанием прямой призмы является равнобедренный прямоугольный треугольник. Высота призмы равна 10 см, а площадь боковой поверхности – 40 см2. Найдите радиус основания цилиндра, описанного около этой призмы. Задание 2 (25 баллов). Угол между образующей конуса и плоскостью его основания равен α, а площадь осевого сечения равна Q. Найдите объем конуса. Задание 3 (25 баллов). Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник, основание которого равно 16 см, а боковая сторона – 10 см. В пирамиду вписан конус. Найдите площадь осевого сечения конуса, если его высота равна 9 см. Задание 4 (25 баллов). Объем шара, вписанного в цилиндр, равен 288π. Найдите площадь полной поверхности цилиндр

Answer 1

Ответ:

1) Цилиндр описанный, => прямоуг.треуг.вписан в окружность, => R равен половине гипотенузы

треугольник равнобедренный, по т.Пифагора

(2R)^2 = 2x^2, где x---катет

R^2 = x^2 / 2

R = x / корень(2)

Sбок.призмы = высота * (x+x+гипотенуза) = 40

2x + 2R = 40/10 = 4

x+R = 2

x = 2-R

R = (2-R) / корень(2)

2-R-Rкорень(2) = 0

2-R(1+корень(2)) = 0

R = 2 / (1+корень(2))

можно избавиться от иррациональности в знаменателе:

домножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение (1-корень(2))

R = 2(1-V2) / ((1-V2)(1+V2)) = 2(1-V2) / (1-2) = 2(корень(2) - 1)

2) tgα=h/R, где R-радиус основания конуса, h-высота конуса

Следовательно, h=R*tgα

2)S(сеч)=ah/2=(2Rh)/2=Rh

S(сеч)=Q => Rh=Q =>R*R*tgα=Q

R²tgα=Q

R=√(Q/tgα)

3)L=2ПR

L=2П√(Q/tgα)

3) 24 ( фото с объяснением сверху)

4) Vшара=4пR^3/3

288п=4пR^3/3

R=6

Hцилиндра=2R=12

Sполповцил=2пR(R+H)=216п

Answer 2

Задание 1:

Площадь боковой поверхности призмы равна 40 см², а высота призмы равна 10 см. Площадь боковой поверхности призмы можно выразить как произведение периметра основания на высоту. Поскольку основание призмы - равнобедренный прямоугольный треугольник, давайте обозначим его ногу через "a", а гипотенузу через "c".

Периметр основания призмы: P = 2a + c Площадь боковой поверхности призмы: S = P * h

Мы знаем, что S = 40 см² и h = 10 см. Давайте найдем "P".

40 = (2a + c) * 10

Разделим обе стороны на 10:

4 = 2a + c

Теперь у нас есть одно уравнение:

2a + c = 4

Также, зная, что основание треугольника - равнобедренный, мы можем сказать, что a = c/2.

Подставим это в уравнение:

2(c/2) + c = 4

Упростим:

c + c = 4

2c = 4

c = 4/2

c = 2

Теперь, когда мы знаем значение "c", радиус основания цилиндра, описанного около призмы, равен половине длины гипотенузы треугольника:

Радиус цилиндра = c/2 = 2/2 = 1 см.

Ответ: Радиус основания цилиндра, описанного около призмы, равен 1 см.

---

Задание 2:

Объем конуса можно выразить как одну треть объема цилиндра с радиусом основания "R" и высотой "h", если угол между образующей конуса и плоскостью его основания равен "α":

Объем конуса = (1/3) * π * R² * h

Теперь, давайте найдем радиус основания "R" конуса. Поскольку у нас есть прямоугольный треугольник, у которого один из углов равен "α", мы можем использовать тригонометрические соотношения.

tan(α) = (R / h)

R = h * tan(α)

Теперь мы можем выразить объем конуса через угол "α" и площадь осевого сечения "Q":

Объем конуса = (1/3) * π * (h * tan(α))² * h

Объем конуса = (1/3) * π * h³ * tan²(α)

Объем конуса = π * (h³/3) * tan²(α)

Теперь мы имеем формулу для объема конуса в терминах "α" и "h", но у нас нет значений для этих переменных. Мы можем выразить объем конуса как функцию площади осевого сечения "Q" и угла "α":

Объем конуса = π * (h³/3) * tan²(α) = π * (h³/3) * tan²(α) * Q/Q

Теперь у нас есть формула для объема конуса, выраженная через "Q" и "α":

Объем конуса = (π * h³ * Q * tan²(α))/3

Ответ: Объем конуса равен (π * h³ * Q * tan²(α))/3.

---

Задание 3:

Площадь осевого сечения конуса можно найти, зная радиус основания конуса "r" и высоту "h" конуса. Мы уже знаем, что радиус основания конуса равен 1 см, и высота конуса равна 9 см.

Площадь осевого сечения конуса (S_осевого_сечения) можно найти по формуле для площади круга:

S_осевого_сечения = π * r²

Подставляем значение радиуса "r" в формулу:

S_осевого_сечения = π * (1 см)²

S_осевого_сечения = π * 1 см²

Ответ: Площадь осевого сечения конуса равна π квадратным сантиметрам.

---

Задание 4:

Объем шара, вписанного в цилиндр, равен 288π. Объем шара можно найти по формуле:

Объем шара = (4/3) * π * r³

Где "r" - радиус шара. Мы знаем, что объем шара равен 288π, поэтому:

(4/3) * π * r³ = 288π

Делаем обе стороны уравнения равными:

(4/3) * π * r³ = 288π

Теперь делим обе стороны на (4/3) * π, чтобы найти значение радиуса "r³":

r³ = (288π) / ((4/3) * π)

Упрощаем:

r³ = (288π) / (4/3) * π = 72 * 3 = 216

Теперь найдем радиус "r":

r = ∛216 = 6 см

Теперь, когда у нас есть радиус "r", мы можем найти площадь полной поверхности цилиндра. Площадь полной поверхности цилиндра (S_цилиндра) равна сумме площадей двух оснований и площади боковой поверхности:

S_цилиндра = 2 * π * r² + 2 * π * r * h

Мы знаем, что радиус "r" равен 6 см, и объем шара вписанного в цилиндр равен 288π. Также, объем цилиндра (V_цилиндра) равен π * r² * h. Мы можем найти высоту "h" из этого объема:

π * r² * h = 288π

r² * h = 288

6² * h = 288

h = 288 / 36 = 8 см

Теперь, когда у нас есть радиус "r" и высота "h", можем найти площадь полной поверхности цилиндра:

S_цилиндра = 2 * π * (6 см)² + 2 * π * 6 см * 8 см

S_цилиндра = 2 * π * 36 см² + 2 * π * 48 см²

S_цилиндра = 72π см² + 96π см²

S_цилиндра = 168π см²

Ответ: Площадь полной поверхности цилиндра равна 168π квадратных сантиметров.