Question

Знайдіть кут між бісектрисою та медіаною, проведеними з вершини прямого кута прямокутного трикутника, якщо один із гострих кутів цього трикутника дорівнює 10°​

Answer 1

Ответ:

Рішення.  

Вирішимо задачу шляхом додаткового побудови навколо заданої геометричної фігури (трикутники), щоб використовувати властивості нової утвореної фігури (прямокутники) для рішення цієї задачі з геометрії.

Спочатку добудуємо прямокутний трикутник до прямокутника.

В результаті додатковой побудови катети прямокутного трикутника одночасно є сторонами прямокутника, а гіпотенуза - його діагоналлю.

Далі врахуємо наступні властивості трикутника і прямокутника:  

Сума кутів трикутника дорівнює 180 градусамДіагоналі прямокутника в точці перетину діляться навпілДіагоналі прямокутника рівні

Величина одного з кутів трикутника задана в умові задачі. Оскільки трикутник за умовами прямокутний, то ми можемо знайти величину третього кута, знаючи, що сума кутів трикутника дорівнює 180 градусам.

Оскільки кут CAB = 20°, то кут ABC = 180 - 90 - 20 = 70°  

Таким чином, ми знайшли градусну міру кута B у трикутнику ABC.  

Розглянемо трикутник COA. Він рівнобедрений, так як його сторони - це половини діагоналей прямокутника. Це випливає з властивостей прямокутника. Так як діагоналі прямокутника рівні, а в точці перетину вони діляться навпіл, то половини рівних відрізків будуть також однакові. Оскільки в равнобедренном трикутнику кути при основі рівні, то:  

∠OCA = ∠OAC = 20º  

Розглянемо трикутник BKC. CK є висотою трикутника ABC, проведеної до гіпотенузи. Значить кут BKC - прямий, тобто дорівнює 90 градусам, а сам трикутник BKC - прямокутний. Оскільки трикутник BKC - прямокутний, то кут BCK = 180 - 90 - 70 = 20° . (Це випливає з того, що сума кутів трикутника 180 градусів, кут BKC - прямий, а величину кута B ми знайшли раніше)  

Оскільки кут BCA - прямий, то його градусна міра дорівнює 90 градусів і, одночасно, дорівнює сумі градусних мір складових його кутів: BCK, KCO та OCA.  

Величину кута BCK ми тільки що знайшли, вона становить 20 градусів, величину кута OCA ми також знайшли раніше і вона теж становить 20 градусів.  

Звідки:  

20° + 20° + ∠KCO = 90°  

∠KCO = 50°  

Відповідь: Кут між медіаною і бісектрисою заданого прямокутного трикутника дорівнює 50 градусів.

Объяснение:

Answer 2

Спершу знайдемо медіану і бісектрису, проведені з вершини прямого кута прямокутного трикутника.

Припустимо, що в прямокутному трикутнику один гострий кут дорівнює 10 градусів. Оскільки це прямокутний трикутник, то інший гострий кут також дорівнює 90 градусів.

Тепер ми можемо розглянути трикутник з одним гострим кутом 10 градусів. Позначимо вершину цього кута як A, а інші дві вершини як B і C. Таким чином, ми маємо:

AB = AC (оскільки це медіана прямокутного трикутника, і вона ділить гіпотенузу пополам). BC - бісектриса кута BAC.

Тепер ми можемо використовувати відомий факт про медіани і бісектриси в прямокутнику трикутнику. У такому трикутнику медіана рівна половині гіпотенузи, і бісектриса рівна половині іншого катета (катета, який не є прилеглим до кута 10 градусів).

Таким чином, медіана AB дорівнює половині гіпотенузи, тобто AB = AC / 2, і бісектриса BC дорівнює половині іншого катета, тобто BC = AC * tan(10°).

Тепер ми можемо знайти величини AB і BC, і після цього можемо знайти тангенс кута між ними, оскільки тангенс кута дорівнює відношенню протилежного катета до прилеглого:

tan(кут між AB і BC) = BC / AB.

Підставимо значення:

tan(кут між AB і BC) = (AC * tan(10°)) / (AC / 2).

AC знімається:

tan(кут між AB і BC) = 2 * tan(10°).

Тепер можемо обчислити тангенс кута між медіаною і бісектрисою:

tan(кут між медіаною і бісектрисою) = 2 * tan(10°).

Підставимо значення 10 градусів у тангенс:

tan(кут між медіаною і бісектрисою) = 2 * tan(10°) ≈ 0.3642.

Отже, тангенс кута між медіаною і бісектрисою дорівнює приблизно 0.3642. Щоб знайти сам кут, можна використовувати обернену функцію тангенса (арктангенс):

кут між медіаною і бісектрисою ≈ arctan(0.3642) ≈ 20.71 градусів.

Отже, кут між медіаною і бісектрисою дорівнює приблизно 20.71 градусів.