Question

определить площадь поверхности шара, вписанного в правильную четырехугольную пирамиду, у которой высота равна 9, а двугранный угол при основании равен 60°

Answer 1

Ответ:

Если провести сечение пирамиды через ее высоту перпендикулярно боковой грани, то получится прямоугольный треугольник CNK, где CN - высота пирамиды - один из катетов треугольника, NK - второй катет (след сечения основания пирамиды, N - прямой угол, K - угол равный 60 градусам (из условия), CK - гипотенуза (высота боковой грани пирамиды).

Центр O вписанного в пирамиду шара лежит на CN так, что ON равно его радиусу. Из точки O проведем перпендикуляр на гипотенузу до точки M. OM также должен быть равен радиусу шара. Рассматривая это построение, нетрудно показать, что точка O делит высоту CN в отношении 1:2. Таким образом радиус вписанного шара равен 3 (9/3).

Объем шара (4/3)*π*3*3*3 = π*36 или примерно 3.14*36 = 113

Answer 2

Для решения задачи определения площади поверхности шара, вписанного в правильную четырехугольную пирамиду, нам понадобятся некоторые геометрические свойства фигур.

Пусть данная правильная четырехугольная пирамида имеет высоту $h = 9$ и двугранный угол при основании $60^\circ$.

1. Нахождение боковой грани пирамиды:

   Для начала, найдем длину боковой грани пирамиды. Разберем основание пирамиды (четырехугольник). У нас есть двугранный угол при основании, который равен $60^\circ$, следовательно, вершина угла делит основание на две равные части. Каждая часть равна $60^\circ / 2 = 30^\circ$.

   Так как основание - правильный четырехугольник, каждый угол основания равен $360^\circ / 4 = 90^\circ$, и теперь мы знаем, что треугольник, образованный боковой гранью и половиной основания, является прямоугольным, где один угол равен $30^\circ$.

   Таким образом, можем применить тригонометрию:

   $$\tan(30^\circ) = \frac{{\text{{половина длины основания}}}}{h}$$

   Отсюда находим половину длины основания $a$:

   $$a = h \times \tan(30^\circ) = 9 \times \tan(30^\circ)$$

2. Нахождение радиуса вписанного шара:

   Пусть радиус вписанного шара равен $r$. Тогда по свойствам правильной пирамиды:

   $$r = \frac{a}{2} \times \tan\left(\frac{360^\circ}{2 \times 4}\right) = \frac{a}{2} \times \tan(45^\circ) = \frac{a}{2}$$

3. Нахождение площади поверхности шара:

   Площадь поверхности шара можно выразить через его радиус $r$ следующим образом:

   $$S_{\text{шара}} = 4\pi r^2$$

   Подставим значение $r$ из предыдущего шага:

   $$S_{\text{шара}} = 4\pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2$$

   Подставим значение $a$ из первого шага и рассчитаем:

   $$S_{\text{шара}} = \pi \left(\frac{9 \times \tan(30^\circ)}{2}\right)^2$$

   Или более точно:

   $$S_{\text{шара}} = \frac{81\pi \tan^2(30^\circ)}{4}$$