Question

Ребят, помогите( log^2 0.5x+log 0.5 x-6 меньше 0

Answer 1

Объяснение:

Log(0,5)²x+Log(0,5)x-6<0.ОДЗ х>0.

Пусть Log(0,5)x=а,

тогда а²+а-6<0. Найдём нули квадратного трехчлена а²+а-6=0 , Д=25, а1=2, а2=-3.

(а-2) (а+3) <0

+ + + + + (-3) - - - - - (2)+ + + + , -3<а<2.

-3<Log(0,5)x<2,

Log(0,5)8<Log(0,5)x<Log(0,5)0,25 . Тк основание логарифма 0<0,5<1 , то

8>х>0,25 или 0,25<х<8

Answer 2

Для решения неравенства log^2(0.5x) + log(0.5x - 6) < 0, давайте воспользуемся свойствами логарифмов.

1. Используем свойство логарифма log(a) + log(b) = log(ab):

log^2(0.5x) + log(0.5x - 6) = log(0.5x)^2 + log(0.5x - 6)

2. Используем свойство логарифма log(a^b) = b * log(a):

2 * log(0.5x) + log(0.5x - 6) = log((0.5x)^2) + log(0.5x - 6)

3. Используем свойство логарифма log(a) + log(b) = log(ab) еще раз:

log((0.5x)^2 * (0.5x - 6)) < 0

4. Упростим выражение внутри логарифма:

log((0.25x^2) * (0.5x - 6)) < 0

5. Используем свойство логарифма log(a) < 0, если и только если 0 < a < 1:

0.25x^2 * (0.5x - 6) > 1

6. Решим уравнение:

0.25x^2 * (0.5x - 6) = 1

Сначала умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от дробей:

x^2 * (2x - 24) = 4

7. Решим полученное квадратное уравнение:

2x^3 - 24x^2 - 4 = 0

Это уравнение кубической формы, и его решение может быть сложным. Однако для определения интервалов, на которых неравенство выполняется, мы можем воспользоваться методом интервалов. Сначала найдем критические точки уравнения.

a) Найдем производную и приравняем ее к нулю:

d/dx (2x^3 - 24x^2 - 4) = 6x^2 - 48x = 6x(x - 8) = 0

Таким образом, x = 0 и x = 8 - критические точки.

b) Создадим таблицу интервалов и проверим знаки производной на каждом интервале:

Интервал	Знак производной
(-бесконечность, 0)	отрицательный
(0, 8)	положительный
(8, +бесконечность)	положительный

Теперь мы видим, что производная положительна на интервалах (0, 8) и (8, +бесконечность). Это означает, что функция увеличивается на этих интервалах.

8. Теперь выберем тестовую точку в каждом из интервалов и определим знак производной:

• Для интервала (-бесконечность, 0) можно взять x = -1. Подставляем в производную: 6 * (-1) * (-1 - 8) = 54. Знак положительный.
• Для интервала (0, 8) можно взять x = 4. Подставляем в производную: 6 * 4 * (4 - 8) = -144. Знак отрицательный.
• Для интервала (8, +бесконечность) можно взять x = 10. Подставляем в производную: 6 * 10 * (10 - 8) = 120. Знак положительный.

Теперь мы знаем, что производная меняет знак с отрицательного на положительный при переходе через x = 8, что означает, что функция имеет локальный минимум в точке x = 8.

9. Теперь определим значения функции в критических точках и вокруг них:

• При x = 0: 2(0)^3 - 24(0)^2 - 4 = -4
• При x = 8: 2(8)^3 - 24(8)^2 - 4 = 100

Таким образом, функция достигает минимума в точке x = 8 и имеет значение -4 в точке x = 0.

10. Теперь мы можем вернуться к неравенству:

0.25x^2 * (0.5x - 6) > 1

На интервале (-бесконечность, 0) неравенство выполнено, так как производная положительна и функция убывает. На интервале (0, 8) неравенство также выполнено, так как функция отрицательна и меньше 0. На интервале (8, +бесконечность) неравенство не выполнено, так как функция положительна и больше 0.

Итак, решение неравенства log^2(0.5x) + log(0.5x - 6) < 0:

x принадлежит интервалам (-бесконечность, 0) и (0, 8).

Таким образом, неравенство выполняется при значениях x из этих двух интервалов.