Question

Равнобокая трапеция ABCD вписана в окружность с диаметром AD и центром в точке O. В треугольник BOC вписана окружность с центром в точке I. Найдите отношение площадей треугольников AID и BIC, если известно, что AD=45, BC=9.

Answer 1

Ответ:

9

Объяснение:

1.треугольники AID и CIB подобны по всем равным углам (вертикальные + накр. леж. углы)

Также треугольники ABI и DCI равны

=> AI=DI и BI=IC

=> треугольники AID и CIB равнобедренны

2. Т.к. треугольники подобны, то все отношения сторон равны 1:3

Это значит, что при составлении пропорции площадей, мы получим примерно такое отношение:

(3a * 3h):2   /   (a * h):2

=>

(3a * 3h):2   /   (a * h):2 =

= 3a * 3h * 2   /   2 * a * h =

2 и ah сокращается и мы получаем в результате, что отношение площадей будет равно 9

Answer 2

Ответ:9

Объяснение:

                                                                                            

Answer 3

Для решения этой задачи нам потребуется найти площади треугольников AID и BIC в терминах радиусов вписанных окружностей.

Обозначим через R радиус вписанной окружности треугольника BOC (окружности с центром I), а через r - радиус вписанной окружности треугольника AID.

Так как ABCD - равнобокая трапеция, то она имеет параллельные стороны AB и CD. Также, угол ADC прямой (так как AD - диаметр окружности). Из этого следует, что угол ABC также прямой. Поскольку треугольник BOC вписанный, у него угол BIC тоже прямой.

Из этой геометрии мы знаем, что:

1. Полупериметр треугольника BIC (s_BIC): $s_BIC = \frac{BC + BI + CI}{2} = \frac{9 + R + R}{2} = \frac{9 + 2R}{2} = 4.5 + R$

2. Полупериметр треугольника AID (s_AID): $s_AID = \frac{AD + AI + DI}{2} = \frac{45 + r + r}{2} = 22.5 + r$

Теперь, используя формулу для площади треугольника через полупериметр и радиус вписанной окружности (S = rs), мы можем найти площади треугольников AID и BIC:

1. Площадь треугольника BIC (S_BIC): $S_BIC = r \cdot s_BIC = r \cdot (4.5 + R)$

2. Площадь треугольника AID (S_AID): $S_AID = R \cdot s_AID = R \cdot (22.5 + r)$

Теперь нам нужно найти отношение S_AID к S_BIC: $\frac{S_AID}{S_BIC} = \frac{R \cdot (22.5 + r)}{r \cdot (4.5 + R)}$

Исходя из этого отношения, мы должны найти значения R и r. Рассмотрим треугольник BOC.

В прямоугольном треугольнике BOC, где BC = 9 и OD = R (половина диаметра), используем теорему Пифагора: $BC^2 = BO^2 + OC^2$ $9^2 = R^2 + R^2$ $81 = 2R^2$ $R^2 = \frac{81}{2}$ $R = \frac{9}{\sqrt{2}}$

Теперь найдем значение r. Рассмотрим треугольник AID.

В прямоугольном треугольнике AID, где AD = 45 и AI = DI = r, используем теорему Пифагора: $AD^2 = AI^2 + DI^2$ $45^2 = r^2 + r^2$ $2025 = 2r^2$ $r^2 = \frac{2025}{2}$ $r = \frac{45}{\sqrt{2}}$

Теперь подставим значения R и r в формулу для отношения площадей: $\frac{S_AID}{S_BIC} = \frac{\frac{9}{\sqrt{2}} \cdot (22.5 + \frac{45}{\sqrt{2}})}{\frac{45}{\sqrt{2}} \cdot (4.5 + \frac{9}{\sqrt{2}})}$

$\frac{S_AID}{S_BIC} \approx \frac{9 \cdot (22.5 + \frac{45}{\sqrt{2}})}{45 \cdot (4.5 + \frac{9}{\sqrt{2}})}$