Question

четырехугольник ABCD обладает следующ свойствами: <ACD = 2<CAB, <ACB = 2<CAD, CB=CD. Докажите. Что <CAB=<CAD​

Answer 1

Два решения

1)

Из треугольников  ABC, ACD соответственно по теор синусов  

CAB=a

CAD=b

BC/sina=AC/sin(a+2b)  

CD/sinb=AC/sin(2b+a)  

но BC=CD , тогда

sina/sin(a+2b) = sinb/sin(b+2a)

sina*sin(b+2a) - sinb*sin(a+2b) = 0

cos(a-b-2a)-cos(b+3a) - cos(b-a-2b)+cos(a+3b)=0

cos(a+3b)=cos(b+3a)

a+3b=b+3a

2b=2a

a=b  

CAB=CAD

 

2)

 Пусть AECF точка O пересечения диагоналей и OE=OF рассмотрим симметрию относительно точки O, точка Е перейдет в точку F, точка B в точку D по определению симметрии так как  CB=CD точка А перейдет в себя, тогда  AB=AD тогда  треугольники ABC=ACD  откуда

 180-2a-b=180-2b-a

3a=3b

a=b

Answer 2

Давайте рассмотрим данное условие и попробуем найти углы <CAB и <CAD.

Из условия известно, что:

1. <ACD = 2<CAB
2. <ACB = 2<CAD
3. CB = CD

Давайте рассмотрим треугольник ACD и треугольник ACB. У нас есть две пары углов в этих треугольниках, которые равны между собой:

1. <ACD = 2<CAB
2. <ACB = 2<CAD

Теперь мы можем воспользоваться тем фактом, что сумма углов в треугольнике равна 180 градусам. Рассмотрим треугольник ACB:

<ACB + <CAB + <CBA = 180°

Так как <ACB = 2<CAD и <CAB = <ACD/2, мы можем заменить эти значения в уравнении:

2<CAD + <ACD/2 + <CBA = 180°

Теперь у нас есть два уравнения:

1. <ACD = 2<CAB
2. 2<CAD + <ACD/2 + <CBA = 180°

Мы хотим найти <CAB и <CAD. Давайте рассмотрим первое уравнение:

<ACD = 2<CAB

Умножим обе стороны на 2:

2<ACD = 4<CAB

Теперь мы можем заменить <ACD во втором уравнении:

2*(2<CAB) + <ACD/2 + <CBA = 180°

4<CAB + <ACD/2 + <CBA = 180°

Теперь мы имеем уравнение с двумя неизвестными углами <CAB и <CAD, но у нас есть еще одно условие: CB = CD, что означает, что стороны BC и CD равны, и поэтому углы при них также равны:

<CBA = <CDA

Теперь мы можем заменить <CBA в уравнении:

4<CAB + <ACD/2 + <CDA = 180°

Теперь у нас есть уравнение только с одним неизвестным углом <CAB и двумя известными углами <ACD и <CDA. Мы можем решить это уравнение для <CAB:

4<CAB + <ACD/2 + <CDA = 180°

Сгруппируем углы <ACD/2 и <CDA:

4<CAB + (<ACD/2 + <CDA) = 180°

Теперь мы можем заменить сгруппированный угол согласно условию <ACB = 2<CAD:

4<CAB + <ACB = 180°

Теперь объединим углы:

5<CAB = 180°

Теперь разделим обе стороны на 5, чтобы найти значение <CAB:

<CAB = 180° / 5 = 36°

Теперь, когда мы знаем значение угла <CAB, мы можем найти значение угла <CAD, используя первое уравнение:

<ACD = 2<CAB

<ACD = 2 * 36° = 72°

Таким образом, у нас есть ответ:

<CAB = 36° и <CAD = 72°.