Question

Найдите точки максимума функции f(x) = x^4-10x^2+9

Answer 1

Ответ:

х₁ = 0 - точка максимума

х₂ = 5 - точка минимума

Объяснение:

Функция

f(x) = x⁴ - 10x² + 9

Производная

f'(x) = 4x³ - 20x

Находим точки экстремумов

4x³ - 20x = 0

4х · (х - 5) = 0

х₁ = 0

х₂ = 5

Находим знаки производной в интервалах

х ∈ (-∞; 0) знак +

х ∈ (0; 5) знак -

х ∈ (5; +∞) знак +

В точке х₁ = 0 производная меняет знак с + на -, значит , это точка максимума.

В точке х₂ = 5 производная меняет знак с - на +, значит , это точка минимума.

Answer 2

Для нахождения точек максимума функции f(x) = x^4 - 10x^2 + 9, мы можем использовать производные. Максимум будет находиться в точке, где производная функции равна нулю и вторая производная отрицательна (чтобы убедиться, что это действительно точка максимума).

Шаг 1: Найдем производную функции f(x):

f'(x) = 4x^3 - 20x

Шаг 2: Найдем точки, где производная равна нулю:

4x^3 - 20x = 0

Вынесем общий множитель 4x:

4x(x^2 - 5) = 0

Теперь мы имеем два возможных значения x:

1. 4x = 0 => x = 0
2. x^2 - 5 = 0 => x^2 = 5 => x = ±√5

Шаг 3: Теперь найдем вторую производную f''(x):

f''(x) = 12x^2 - 20

Шаг 4: Проверим знак второй производной в каждой из найденных точек:

a) Для x = 0: f''(0) = 12(0)^2 - 20 = -20 Знак отрицательный.

b) Для x = √5: f''(√5) = 12(√5)^2 - 20 = 60 - 20 = 40 Знак положительный.

c) Для x = -√5: f''(-√5) = 12(-√5)^2 - 20 = 60 - 20 = 40 Знак положительный.

Таким образом, у нас есть две точки, в которых производная равна нулю, и в обоих случаях вторая производная положительна. Это означает, что у нас есть две точки максимума:

1. x = √5
2. x = -√5

Чтобы найти соответствующие значения f(x) в этих точках, подставим их в исходную функцию:

f(√5) = (√5)^4 - 10(√5)^2 + 9 = 25 - 50 + 9 = -16 f(-√5) = (-√5)^4 - 10(-√5)^2 + 9 = 25 - 50 + 9 = -16

Таким образом, точки максимума функции f(x) равны:

1. (√5, -16)
2. (-√5, -16)