Question

1. Через точки A і B, що лежать на колах верхньої та нижньої основ циліндра і не належать одній твірній, проведено площину паралельно осі циліндра. Відстань від центра нижньої основи до цієї площини дорівнює 2 см, а площа утвореного перерізу – 60√2 см2. Визначте довжину відрізка AB (у см), площа розгортки бічної поверхні циліндра дорівнює 20√30 π см2. 2. У конусі з радіусом основи R, твірна нахилена до площини основи під кутом α. Через вершину конуса проведено площину під кутом φ до його висоти. Ця площина перетинає основу конуса по хорді. Знайдіть площу утвореного перерізу.

Answer 1

Відповідь:

Пояснення:

З наведеної інформації площа поперечного перерізу циліндра, перпендикулярного до осі, дорівнює 60√2 см^2. Оскільки це коло, його радіус можна знайти за допомогою формули для площі кола:

r^2 = (60√2) / π

r = √(60√2 / π)

Відстань між точками А і В можна знайти за допомогою теореми Піфагора:

AB^2 = r^2 + (2 см)^2

AB = √(r^2 + (2 см)^2)

Підставляючи значення r, маємо:

AB = √((√(60√2 / π))^2 + (2 см)^2)

Площу бічної поверхні циліндра можна знайти за формулою:

Площа бічної поверхні = 2πrh

де h – висота циліндра, яка дорівнює АВ.

Площа бічної поверхні = 2πr * AB

Підставляючи значення r і AB, маємо:

Площа бічної поверхні = 2π * √(60√2 / π) * √((√(60√2 / π))^2 + (2 см)^2)

Оскільки це має дорівнювати 20√30π см^2, ми можемо прирівняти два вирази та знайти AB.

Якщо значення радіусу верхньої та нижньої основ циліндра дорівнюють R, то площа кола дорівнює πR^2. Тоді площа перерізу циліндра може бути записана як:

πR^2 + 2πR * h = 60√2

Де h - висота циліндра. За допомогою цього рівняння можна вирахувати h:

h = (60√2 / πR^2) - 2R

Значення AB може бути знайдене за допомогою теореми Піфагора:

AB^2 = R^2 + h^2

Встановлення розрахованих значень R та h у цей вираз та приведення до квадратного виразу дозволяє знайти значення AB.

AB = 2 * sqrt(30 / π) = 2 * sqrt(30/π) = 2 * sqrt(30/π) ≈ 3.82 cm

Щоб знайти площу поперечного перерізу, можна скористатися такою формулою:

A = (1/2) * R^2 * sin(φ) * sin(α)

Де R — радіус основи конуса, α — кут між віссю конуса та площиною основи, φ — кут між площиною перерізу та висотою конуса.

Answer 2

1. Почнемо з першого завдання.

Площа утвореного перерізу циліндра дорівнює 60√2 см², і відстань від центра нижньої основи до цієї площини дорівнює 2 см. Ми можемо використовувати ці дані, щоб знайти радіус верхньої основи циліндра.

Площа перерізу бічної поверхні циліндра дорівнює 20√30π см². Ця площа обчислюється за формулою:

S = 2πrh,

де S - площа бічної поверхні циліндра, r - радіус верхньої основи циліндра, і h - висота циліндра.

Ми знаємо, що площа перерізу бічної поверхні циліндра дорівнює 20√30π см², і ми маємо знайдений раніше радіус верхньої основи циліндра:

20√30π = 2πr(2 см).

Тепер можемо розв'язати це рівняння для r:

20√30 = 4r.

r = (20√30)/4 = 5√30 см.

Тепер ми знаємо радіус верхньої основи циліндра. Далі нам потрібно знайти довжину відрізка AB, який лежить на колах верхньої та нижньої основ циліндра і не належить одній твірній. Це можна зробити, використовуючи геометричні властивості циліндра.

Довжина відрізка AB дорівнює відстані між центрами цих двох кол (основ циліндра). Оскільки центри кол співпадають з центрами основ циліндра, ми можемо обчислити цю відстань:

Довжина відрізка AB = Діаметр нижньої основи - Діаметр верхньої основи Діаметр нижньої основи = 2 * радіус нижньої основи = 2 * 5√30 см = 10√30 см Діаметр верхньої основи = 2 * радіус верхньої основи = 2 * 5√30 см = 10√30 см

Тепер знайдемо довжину відрізка AB:

Довжина відрізка AB = 10√30 см - 10√30 см = 0 см.

Отже, довжина відрізка AB дорівнює 0 см.

2. Для другого завдання ми маємо конус з радіусом основи R та твірною, нахиленою до площини основи під кутом α. Ми проводимо площину під кутом φ до висоти конуса, яка перетинає основу конуса по хорді.

Ми можемо розділити цю хорду на дві рівні частини, де одна частина рівна R (радіус основи конуса), і інша частина рівна R * tan(α), оскільки тангенс кута α = протилежна сторона / прилегла сторона.

Тепер ми маємо два прямокутники зі сторонами R та R * tan(α), які утворюються в результаті перерізу конуса.

Площа кожного прямокутника дорівнює S = R * (R * tan(α)) = R² * tan(α).

Отже, загальна площа утвореного перерізу конуса дорівнює:

2 * (R² * tan(α)) = 2R² * tan(α).

Це і є площа утвореного перерізу конуса.