Question

Знайдіть кут між векторами а(2;1), b(1;3)

Answer 1

Ответ: α=45°

Объяснение:

IaI·IbI·cosα=a·b

$IaI=\sqrt{Xa^2+Ya^2}= \sqrt{2^2+1^2}= \sqrt{5} \\IbI=\sqrt{Xb^2+Yb^2}= \sqrt{1^2+3^2}= \sqrt{10} \\\\a*b= Xa*Xb+Ya*Yb= 2*1+3*1=5\\= > \sqrt{5}*\sqrt{10}*cos\alpha = 5\\ = > 5\sqrt{2}*cos\alpha =5\\ cos\alpha =\frac{1}{\sqrt{2} } \\cos\alpha =\frac{\sqrt{2} }{2}\\ = > \alpha =45$

α=45°

Answer 2

Щоб знайти кут між двома векторами, скористаємося формулою для косинусу кута між векторами:

$\cos(\theta) = \frac{{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}}{{\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\|}},$

де:

• $\theta$ - кут між векторами,
• $\mathbf{a}$ та $\mathbf{b}$ - вектори,
• $\cdot$ - скалярний добуток,
• $\| \mathbf{a} \|$ та $\| \mathbf{b} \|$ - норми векторів.

Спершу знайдемо скалярний добуток векторів $\mathbf{a}$ та $\mathbf{b}$:

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (2 \cdot 1) + (1 \cdot 3) = 2 + 3 = 5.$

Тепер знайдемо норми кожного з векторів:

$\|\mathbf{a}\| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5},$ $\|\mathbf{b}\| = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}.$

Тепер підставимо ці значення у формулу для косинусу кута між векторами:

$\cos(\theta) = \frac{5}{{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}}} = \frac{1}{{\sqrt{2}}}.$

Щоб знайти кут $\theta$, використаємо обернену косинусну функцію (арккосинус):

$\theta = \arccos\left(\frac{1}{{\sqrt{2}}}\right).$

Розрахунок:

$\theta \approx 45^\circ.$

Отже, кут між векторами $\mathbf{a}$ та $\mathbf{b}$ приблизно 45 градусів.