Question

Найдите координаты центра и радиус сферы заданной уровнением х²+у²+z²-2х-4у+2z+5=0 какая из точек А(0;1;2)или В(2;-1;0) принадлежит​ сфере.​

Answer 1

Ответ:

Для начала приведем уравнение сферы к каноническому виду:

$$(x-1)^2 + (y+2)^2 + (z-1)^2 = 9$$

Таким образом, центр сферы имеет координаты $(1,-2,1)$, а радиус равен $3$.

Точка $A(0,1,2)$ не принадлежит данной сфере, так как расстояние от нее до центра сферы больше радиуса:

$$\sqrt{(0-1)^2 + (1+2)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{15} > 3$$

Точка $B(2,-1,0)$ также не принадлежит данной сфере, так как расстояние от нее до центра сферы также больше радиуса:

$$\sqrt{(2-1)^2 + (-1+2)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{3} > 3$$

Следовательно, ни одна из данных точек не принадлежит данной сфере.

Answer 2

Для того чтобы найти координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением x² + y² + z² - 2x - 4y + 2z + 5 = 0, мы должны преобразовать это уравнение в каноническую форму уравнения сферы (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = r², где (a, b, c) - координаты центра сферы, а r - радиус сферы.

1. Сначала завершим квадратное уравнение по каждой из переменных x, y и z:

x² - 2x + y² - 4y + z² + 2z + 5 = 0

2. Теперь добавим константы к обеим сторонам уравнения так, чтобы получить квадрат с переменными x, y и z:

x² - 2x + 1 + y² - 4y + 4 + z² + 2z + 1 = 1 + 4 + 1

3. Мы добавили 1 к x² - 2x, 4 к y² - 4y и 1 к z² + 2z. Теперь каждое из этих выражений является полным квадратом:

(x - 1)² + (y - 2)² + (z + 1)² = 6

Теперь у нас есть уравнение сферы в канонической форме:

(x - 1)² + (y - 2)² + (z + 1)² = 6

Сравним его с канонической формой:

(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = r²

Из сравнения видно, что координаты центра сферы: a = 1, b = 2, c = -1, а радиус r = √6.

Теперь давайте определим, принадлежит ли точка A(0; 1; 2) или B(2; -1; 0) этой сфере. Для этого подставим координаты точек в уравнение сферы и проверим, выполняется ли равенство:

Для точки A(0; 1; 2):

(0 - 1)² + (1 - 2)² + (2 + 1)² = (-1)² + (-1)² + 3² = 1 + 1 + 9 = 11

Для точки B(2; -1; 0):

(2 - 1)² + (-1 - 2)² + (0 + 1)² = 1² + (-3)² + 1² = 1 + 9 + 1 = 11

Оба вычисления дают 11, что не равно квадрату радиуса сферы (6), поэтому ни точка A(0; 1; 2), ни точка B(2; -1; 0) не принадлежат этой сфере.