Question

Дана пирамида SABC, в которой AB=AC=SB=SC=17, BC=SA=16. Точки M и N — середины рёбер BC и SA. а) Докажите, что отрезок MN является общим перпендикуляром к прямым BC и SA. б) Найдите объём пирамиды ABMN.

Answer 1

Дана пирамида SABC, в которой AB=AC=SB=SC=17, BC=SA=16. Точки M и N — середины рёбер BC и SA.

а) Докажите, что отрезок MN является общим перпендикуляром к прямым BC и SA.   б) Найдите объём пирамиды ABMN.

Объяснение:

1)BN-медиана ΔSАВ-равнобедренного⇒BN-высота и BN⊥АS.

CN-медиана ΔSАС-равнобедренного⇒СN-высота и СN⊥АS. Значит по признаку перпендикулярности прямой и плоскости АS⊥ВСN( она перпендикулярна 2-м пересекающимся прямым).А если AS перпендикулярна плоскости, то перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости , например ВС. Вывод AS⊥BC.

2)V(пирам)=1/3*S(осн)*h.

                           S(осн)=S(АВМ)=1/2*ВМ*АМ.

                           ВМ=8, АМ=√(17²-8²)=15.

                            S(осн)=0,5*8*15=60 (ед²)

Ищем высоту h из  ΔАNM-прямоугольного, т.к MN⊥AS. Применяем т. о среднем пропорциональном для катета и высоты.

Т.к. катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией катета, то AN=√(AM*AO) или AО=AN²:АМ=64/15.

Тогда ОМ=15-64/15=161/15

Высота NO-есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу АМ. Тогда NO=√(АО*ОМ)=√(64/15*161/15)=8/15√161.

V(пирам)=1/3*60*8/15√161=32/3*√161.

PS. Не доказано, что NO " падает " на АМ.

Answer 2

Давайте начнем с доказательства того, что отрезок MN является общим перпендикуляром к прямым BC и SA.

а) Доказательство:

1. Поскольку M и N - середины ребер BC и SA, соответственно, то MN - это отрезок, соединяющий середины этих ребер.

2. По определению, отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, является медианой этого треугольника.

3. Медиана треугольника делит его на два равных треугольника по площади и также проходит через вершину треугольника.

4. В нашем случае, треугольники ABC и ASA равны по площади, так как у них равны боковые стороны AB=AC и SA=SB, и они имеют общую высоту, которая проходит через точку M и N.

5. Следовательно, MN делит треугольники ABC и ASA пополам по площади и также проходит через вершины A и B (или A и C).

6. Поскольку треугольники ABC и ASA лежат в одной плоскости, MN будет лежать в этой же плоскости и будет перпендикулярен к прямым BC и SA.

Теперь, когда мы убедились, что MN является общим перпендикуляром к BC и SA, мы можем перейти ко второй части задачи:

б) Найдем объем пирамиды ABMN.

Объем пирамиды можно найти, используя следующую формулу:

V = (1/3) * S * h,

где V - объем пирамиды, S - площадь основания, h - высота пирамиды от основания до вершины.

В данном случае, основание пирамиды - это треугольник ABM, а его площадь можно найти, используя формулу для площади треугольника:

S = (1/2) * AB * MN.

Также мы знаем, что MN - это общий перпендикуляр к BC и SA, следовательно, MN равен расстоянию между BC и SA. Это расстояние равно 16, так как BC = SA = 16.

Теперь мы можем выразить площадь S:

S = (1/2) * 17 * 16 = 136.

Теперь нам нужно найти высоту пирамиды h. Мы видим, что треугольник ABM - это прямоугольный треугольник, так как MN является высотой, проведенной к гипотенузе AB. Известно, что AB = 17, так как AB=AC=SB=SC=17.

Теперь мы можем найти h, используя теорему Пифагора:

h = sqrt(AB^2 - MN^2) = sqrt(17^2 - 16^2) = sqrt(289 - 256) = sqrt(33).

Теперь у нас есть все необходимые данные для вычисления объема пирамиды:

V = (1/3) * S * h = (1/3) * 136 * sqrt(33).

Вычислим значение объема:

V = (1/3) * 136 * sqrt(33) ≈ 646.86.

Итак, объем пирамиды ABMN приближенно равен 646.86 кубическим единицам.