Question

Найти проекцию точки М (1; 2; -3) на плоскость 6х-у+3z-41=0. Актуально до 11.00 ,22.07.2023.

Answer 1

Найти проекцию точки М (1; 2; -3) на плоскость 6х-у+3z-41=0.

Нехай точка М1 проекція точки М на дану площину.

n(6; -1; 3) -вектор нормалі.

Канонічне рівняння

(x-1)/6=(y-2)/-1=(z+3)/3.

Параметричне рівняння: (для визначення точки М1(х, у, z), проекції точки М на площину).

х=1+6t,

y=2-t,

z=-3+3t.

Підстановка в рівняння площини:

6(1+6t)-(2-t)+3(-3+3t)-41=0,

6+36t-2+t-9+9t-41=0,

46t=46,

t=1.

Тоді,

х=1+6×1=7,

у=2-1=1;

z=-3+3×1=0.

Отже М1(7; 1; 0).

Answer 2

Для того чтобы найти проекцию точки М(1, 2, -3) на плоскость 6x - y + 3z - 41 = 0, мы можем воспользоваться формулой для проекции точки на плоскость.

Плоскость можно описать уравнением вида Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C и D - коэффициенты плоскости. В данном случае у нас есть плоскость 6x - y + 3z - 41 = 0, поэтому A = 6, B = -1, C = 3 и D = -41.

Теперь нам нужно найти проекцию точки М(1, 2, -3) на эту плоскость. Проекция точки на плоскость будет лежать на самой плоскости. Мы можем использовать следующую формулу для вычисления проекции:

P = M - ((A * xM + B * yM + C * zM + D) / (A^2 + B^2 + C^2)) * (A, B, C)

Где:

• P - проекция точки М на плоскость.
• M - координаты точки М(1, 2, -3).
• (A, B, C) - нормаль к плоскости (коэффициенты A, B и C).
• D - коэффициент D плоскости.

Подставим значения:

M = (1, 2, -3) A = 6, B = -1, C = 3, D = -41

Теперь вычислим проекцию P:

P = (1, 2, -3) - ((6 * 1 + (-1) * 2 + 3 * (-3) - 41) / (6^2 + (-1)^2 + 3^2)) * (6, -1, 3) P = (1, 2, -3) - ((6 - 2 - 9 - 41) / (36 + 1 + 9)) * (6, -1, 3) P = (1, 2, -3) - ((-46) / 46) * (6, -1, 3) P = (1, 2, -3) - (-1) * (6, -1, 3) P = (1, 2, -3) + (6, -1, 3) P = (7, 1, 0)

Таким образом, проекция точки М(1, 2, -3) на плоскость 6x - y + 3z - 41 = 0 равна (7, 1, 0).