Question

20B016. В трикутнику Авс на стороні в взято точку м таку, ЩО AM : MB = 2:3, а на стороні с - точку и таку, що AN: NC = 3:4. Знайти площу трикутника ABC, якщо площа трикутника AMN дорівнює 12.

Answer 1

Пусть х и у - коэффициенты пропорциональности. Тогда

AM = 2x

MB = 3x

AN = 3y

NC = 4y

Тогда AB = 2x + 3x = 5x и AC = 3y + 4y = 7y и пусть $\angle BAC=\alpha$

Находим отношение площади треугольника AMN к площади треугольника ABС

$\dfrac{S_{AMN}}{S_{ABC}}=\dfrac{\frac{1}{2}\cdot AN\cdot AM\cdot \sin \alpha}{\frac{1}{2}\cdot AC\cdot AB\cdot \sin\alpha}=\dfrac{AN\cdot AM}{AC\cdot AB}=\dfrac{3y\cdot 2x}{7y\cdot 5x}=\dfrac{6}{35}$

$\dfrac{12}{S_{ABC}}=\dfrac{6}{35}$

$S_{ABC}=\dfrac{35}{6}\cdot 12=70$ кв. ед.

Ответ: 70 кв.ед.

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі вам знадобиться декілька кроків. Давайте підрахуємо різні відношення, щоб отримати важливі відомості:

1. AM:MB = 2:3, AN:NC = 3:4. Це означає, що можемо записати: AM/MB = 2/3 і AN/NC = 3/4.

2. З пункту 1 ми також можемо записати, що MA/AB = 2/5 (оскільки AM + MB = AB).

3. Площа трикутника AMN дорівнює 12, і ми можемо записати площі трикутників AMB і ANC також з використанням відношень з пункту 1: Площа трикутника AMB = (2/5) * 12 = 24/5, Площа трикутника ANC = (3/7) * 12 = 36/7.

4. Площу трикутника ABC ми можемо обчислити, додавши площі AMB і ANC до площі трикутника AMN: Площа трикутника ABC = 12 + 24/5 + 36/7.

Тепер знайдемо спільний знаменник для дробів у виразі:

Для дробу 24/5, ми можемо перевести 5 в 35, помноживши як чисельник, так і знаменник на 7. Тобто, 24/5 = (247)/(57) = 168/35.

Для дробу 36/7, ми можемо перевести 7 в 35, помноживши як чисельник, так і знаменник на 5. Тобто, 36/7 = (365)/(75) = 180/35.

Тепер ми можемо обчислити площу трикутника ABC:

Площа трикутника ABC = 12 + 168/35 + 180/35 Площа трикутника ABC = 12 + (168 + 180)/35 Площа трикутника ABC = (12 + 348)/35 Площа трикутника ABC = 360/35

Зведемо дріб до найпростішого вигляду, поділивши чисельник і знаменник на їхній найбільший спільний дільник, який дорівнює 5:

Площа трикутника ABC = (360/5) / (35/5) Площа трикутника ABC = 72/7

Отже, площа трикутника ABC дорівнює 72/7.