Question

Найдите площадь правильного многоугольника, если его внешний угол равен 30°, а диаметр описанной около него окружности равен 8 см.

Answer 1

Очень легко показать, что внешний угол в правильном многоугольнике равен центральному углу в описанной окружности, опирающемуся на сторону. В самом деле, угол многоугольника равен 180 - Ф, если провести из центра радиусы в соседние вершины, то угол при основании в полученном равнобедренном треугольнике равен (180 - Ф)/2, сумма 2 углов при основании 180 - Ф, поэтому угол при вершине Ф. 

Поскольку при Ф = 30 градусов число сторон N = 360/Ф = 12, то у в задаче задан правильный 12-угольник. Радиуc описанной окружности R = 4, и площадь каждого из 12 уже упоминавшихся треугольников равна R^2*sin(30)/2 = 4; площадь всего 12-угольника 4*12 = 48;

Answer 2

Для нахождения площади правильного многоугольника, зная его внешний угол и диаметр описанной около него окружности, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите количество углов (вершин) в многоугольнике, используя формулу: Количество углов = 360° / Внешний угол

   В данном случае: Количество углов = 360° / 30° = 12 углов.

2. Теперь вы знаете, что у вас правильный многоугольник с 12 углами.

3. Найдите меру каждого внутреннего угла многоугольника, разделив 360° на количество углов: Внутренний угол = 360° / Количество углов Внутренний угол = 360° / 12 = 30°.

4. Так как это правильный многоугольник, то все его углы и стороны равны между собой.

5. Разбейте многоугольник на треугольники. У нас есть 12 углов, и каждый угол равен 30°. Таким образом, многоугольник можно разделить на 12 равных равносторонних треугольников.

6. Теперь можно найти площадь одного такого треугольника. Для этого используем формулу для площади равностороннего треугольника:

   Площадь треугольника = (a^2 * √3) / 4,

   где "a" - длина стороны треугольника.

7. Для нахождения длины стороны треугольника, можно воспользоваться радиусом описанной около многоугольника окружности. Половина диаметра равна радиусу, и так как у нас равносторонний треугольник, то сторона треугольника равна радиусу окружности. Таким образом, сторона треугольника равна 4 см (половина диаметра).

8. Теперь вычислите площадь одного треугольника: Площадь треугольника = (4^2 * √3) / 4 = 4^2 * (√3 / 4) = 16 * (√3 / 4) = 4√3.

9. Наконец, найдите площадь всего многоугольника, умножив площадь одного треугольника на количество таких треугольников в многоугольнике (в данном случае 12): Площадь многоугольника = 12 * 4√3 = 48√3 см².

Итак, площадь правильного многоугольника равна 48√3 квадратных сантиметров.