Question

Около окружности радиуса 4 описана трапеция, периметр которой равен 32. найдите площади трапеции.

Answer 1

Площадь трапеции равна 64 см2.

Answer 2

Для решения этой задачи нам необходимо знать формулу для периметра трапеции. Периметр трапеции вычисляется следующим образом:

$P = a + b_1 + b_2 + c,$

где $a$ - длина одного из оснований, $b_1$ и $b_2$ - длины боковых сторон, $c$ - длина верхней стороны трапеции.

Известно, что периметр трапеции $P$ равен 32 и радиус окружности, описанной вокруг трапеции, равен 4. Для начала найдем длину верхней стороны трапеции ($c$) с использованием радиуса окружности ($R$):

$c = 2\pi R = 2\pi \times 4 = 8\pi.$

Так как периметр трапеции равен сумме всех сторон, то мы можем записать:

$32 = a + b_1 + b_2 + 8\pi.$

Мы также знаем, что $a + c = 2R\pi$, где $R$ - радиус окружности, а в данном случае $R = 4$. Подставим это в уравнение:

$a + 8\pi = 8\pi.$

Таким образом, $a = 0$. Теперь можем найти сумму боковых сторон ($b_1 + b_2$):

$b_1 + b_2 = P - a - c = 32 - 0 - 8\pi = 32 - 8\pi.$

Так как трапеция описана около окружности радиуса 4, то длина каждой боковой стороны равна половине периметра окружности, то есть $b_1 = b_2 = 4\pi$. Итак, имеем:

$4\pi + 4\pi = 8\pi.$

Теперь мы можем найти площадь трапеции, используя формулу:

$S = \frac{1}{2} \times (a + c) \times h,$

где $h$ - высота трапеции. Так как $a = 0$, у нас остается:

$S = \frac{1}{2} \times c \times h = \frac{1}{2} \times 8\pi \times h = 4\pi h.$

Мы знаем, что $h$ - это расстояние от верхней вершины трапеции до основания, а оно равно радиусу окружности (4):

$S = 4\pi \times 4 = 16\pi.$

Итак, площадь трапеции равна $16\pi$.