Question

Продолжения равных хорд АВ и СD окружности соответственно за точки B и C пересекаются в точке P. Докажите, что треугольник APD равнобедренный.   

Answer 1

Т.к. хорды AB и CD равны, то равны и дуги AB и CD.

Но тогда равны и дуги ABC и DCB ( к равным дугам прибавили одну и ту же дугу ВС и получили равные дуги).

Угол ADC и угол BAD равны, т.к. они вписанные углы и опираются на равные дуги.

В 3-ке АРD углы при основании равны, значит, он ранобедренный.

Answer 2

Для доказательства того, что треугольник APD (точки A, P и D) является равнобедренным, мы можем воспользоваться свойствами хорд окружности и их продолжений.

Пусть AB и CD - хорды окружности, а их продолжения пересекаются в точке P, как указано в вашем вопросе.

Так как AB и CD - хорды, которые равны по длине (по условию), то AP и PD являются продолжениями этих хорд, и они также равны по длине, так как они составляют равные хорды AB и CD.

Теперь рассмотрим угол PAD. По определению, он равен половине центрального угла, образованного хордой AD. Так как хорда AD проходит через центр окружности, то угол PAD равен половине угла в центре, то есть угол PAD является прямым углом.

Теперь у нас есть две стороны треугольника APD, которые равны по длине (AP и PD), и один прямой угол (PAD). Это означает, что треугольник APD является прямоугольным треугольником с двумя равными сторонами, что делает его равнобедренным.

Таким образом, мы доказали, что треугольник APD является равнобедренным.