Question

Два конус имеют концентрические основания и один и тот же угол, равный альфа, между высотой и образующей. Радиус основания внешнего конуса равен R. Боковая поверхность внутреннего конуса два раза меньше полной поверхности внешнего конуса.Найдите объем внутреннего конуса.

Answer 1

1. Vусеч=πH(r²+rR+R²)/3 Vполн=πR²H/3 Vусеч/Vполн=(πH(r²+rR+R²)/3)/(πR²H/3)= (r²+rR+R²)/R² 2. S=πRl l=R/sinα Sбол=πR²/sinα Sмал=πr²/sinα Sмал=Sбол/2 πr²/sinα=πR²/2*sinα r=√(R²/2)=R/√2 h=r*ctgα Vмал=πr²h/3=π(R/√2)²(R/ √2*ctgα)/3=πR³ctgα/(6√2)

Answer 2

Давайте обозначим следующие величины:

• $R$ - радиус основания внешнего конуса.
• $r$ - радиус основания внутреннего конуса.
• $h$ - высота обоих конусов.
• $\alpha$ - угол между высотой и образующей конусов.

Сначала найдем полную поверхность внешнего конуса. Полная поверхность конуса вычисляется по формуле:

$S_{\text{внеш}} = \pi R (R + l),$

где $l$ - длина образующей конуса. Мы знаем, что $\alpha$ - угол между высотой и образующей, так что $l = \frac{R}{\cos(\alpha)}$.

Теперь найдем боковую поверхность внешнего конуса:

$S_{\text{бок}} = \pi R l.$

Согласно вашему условию, боковая поверхность внутреннего конуса вдвое меньше полной поверхности внешнего конуса:

$S_{\text{бок}}^{\text{внутр}} = \frac{1}{2} S_{\text{внеш}}.$

Подставим значения $S_{\text{бок}}$ и $S_{\text{внеш}}$ в уравнение:

$\pi R l^{\text{внутр}} = \frac{1}{2} \pi R (R + l).$

Теперь можно решить это уравнение относительно $l^{\text{внутр}}$:

$l^{\text{внутр}} = \frac{1}{2} (R + l).$

Теперь найдем выражение для длины образующей внутреннего конуса, $l^{\text{внутр}}$:

$2l^{\text{внутр}} = R + l.$

Выразим $l$ через $l^{\text{внутр}}$:

$l = 2l^{\text{внутр}} - R.$

Теперь мы можем найти объем внутреннего конуса. Объем конуса вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h.$

Мы уже знаем, что $r$ и $l$ связаны следующим образом:

$r = \frac{R}{2l^{\text{внутр}} - R}.$

Теперь нужно найти высоту $h$. Для этого воспользуемся свойством треугольника внутреннего конуса:

$\tan(\alpha) = \frac{h}{l^{\text{внутр}}}.$

Отсюда можно выразить $h$:

$h = l^{\text{внутр}} \tan(\alpha).$

Теперь мы можем подставить $r$ и $h$ в формулу для объема внутреннего конуса:

$V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{R}{2l^{\text{внутр}} - R}\right)^2 \cdot l^{\text{внутр}} \cdot \tan(\alpha).$

Это выражение позволяет найти объем внутреннего конуса в зависимости от заданных параметров $R$ и $\alpha$.