Question

У прямому паралелепіпеді сторони основи Зсм і 5 см, а одна з діагоналей основи 4 см. Знайдіть більшу діагональ паралелепіпеда, знаючи, що менша діагональ утворює з площиною основи кут 60°.

Answer 1

В основі паралелепіпеда - паралелограм.
Його діагоналі, перехрещуючись, діляться навпіл.
Отож, більша діагональ - це дві медіани трикутника зі сторонами 3, 4 та 5 см.
Д₁ = √(2*5²+2*3²-4²) = √(50+18-16) = √52 = 7,211103 см.
Висота паралелепіпеда дорівнює Н =4*tg 60° = 4*√3.
Більша діагональ паралелепіпеда Д₂ = √(Д₁²+Н²) = √(52+16*3) = √100 = 10 см.

Answer 2

Давайте розглянемо ситуацію прямого паралелепіпеда, як показано на малюнку нижче:

javascriptCopy code
       A _________ B
        /       / |
       /       /  |
      /_______/   |
     D        C    |
      |       |    |
      |       |    |
      |       |    |
     E|_______|____|

Дано: AB = 5 см (одна сторона основи) AD = CD = 4 см (діагональ основи) Кут BAD = 60 градусів (менша діагональ утворює з площиною основи кут 60 градусів)

Ми хочемо знайти більшу діагональ, яку ми позначимо як AC.

За допомогою правила косинусів ми можемо знайти довжину AC:

cos(BAD) = (AC^2 - AD^2 - CD^2) / (2 * AD * CD)

cos(60°) = (AC^2 - 4^2 - 4^2) / (2 * 4 * 4)

0.5 = (AC^2 - 16 - 16) / 32

0.5 = (AC^2 - 32) / 32

0.5 * 32 = AC^2 - 32

16 = AC^2 - 32

AC^2 = 16 + 32

AC^2 = 48

Тепер знайдемо довжину AC, взявши квадратний корінь з обох боків:

AC = √48 = √(16 * 3) = 4√3 см

Отже, більша діагональ паралелепіпеда дорівнює 4√3 см.