Question

в треугольник авс вписана окружность которая касается стороны ав в точке м, ab=5 см,bc=7 см,ac=8 см. найдите am

Answer 1

  По теореме о касательных: Если из какой-нибудь точки провести две касательные к окружности, то их отрезки от данной точки до точек касания равны между собой.  Обозначим  точку касания на ВС k; на АС – t.  Примем Аm=х.  Тогда  Аt=Аm=х; Вm=Вk=5-х, Ck=Ct=8-х. Р∆АВС=5+7+8=20 см. Сумма отрезков сторон равна периметру ∆ АВС. Составим уравнение: 2х+2•(5-х)+2•(8-х)=20 или х+5-х+8-х=10⇒ х=3 см. Аm=х=3 см.

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем воспользоваться свойством касательных, проведенных из внешней точки к окружности. Дано, что точка $М$ - точка касания вписанной окружности с стороной $АВ$ треугольника $АВС$.

По свойству касательных, отрезок $МА$ будет равен отрезку $МВ$. Это происходит из-за того, что касательные из внешней точки к окружности равны по длине.

Пусть $АМ = МВ = х$.

Теперь мы можем рассмотреть два треугольника: треугольник $АМС$ и треугольник $ВМС$. Мы знаем следующие стороны:

В треугольнике $АМС$:

• $АМ = х$ (мы это обозначили)
• $АС = 8$ (дано)

В треугольнике $ВМС$:

• $ВМ = х$ (так как касательные равны)
• $ВС = 7$ (дано)

Теперь мы можем воспользоваться теоремой косинусов для обоих треугольников:

В треугольнике $АМС$:

$$\cos(\angle AMS) = \frac{АМ^2 + АС^2 - МС^2}{2 \cdot АМ \cdot АС}$$

В треугольнике $ВМС$:

$$\cos(\angle VMS) = \frac{ВМ^2 + ВС^2 - МС^2}{2 \cdot ВМ \cdot ВС}$$

Поскольку $\angle AMS = \angle VMS$, мы можем приравнять выражения для $\cos(\angle AMS)$ и $\cos(\angle VMS)$:

$$\frac{АМ^2 + АС^2 - МС^2}{2 \cdot АМ \cdot АС} = \frac{ВМ^2 + ВС^2 - МС^2}{2 \cdot ВМ \cdot ВС}$$

Подставляем известные значения и $АМ = ВМ = х$:

$$\frac{х^2 + 8^2 - МС^2}{2 \cdot х \cdot 8} = \frac{х^2 + 7^2 - МС^2}{2 \cdot х \cdot 7}$$

Теперь мы можем решить это уравнение относительно $х$:

$$\frac{х^2 + 64 - МС^2}{16х} = \frac{х^2 + 49 - МС^2}{14х}$$

Перемножаем обе стороны на $16х \cdot 14х$ чтобы избавиться от знаменателей:

$$14х^2 + 64х = 16х^2 + 49х$$

Вычитаем $16х^2$ и выражаем $х$:

$$-2х^2 = -15х$$

Деля обе стороны на $-х$ (заметьте, что $х$ не может быть равно нулю, так как это длина стороны треугольника), получаем:

$$2х = 15$$

Отсюда:

$$х = \frac{15}{2} = 7.5 \text{ см}$$

Таким образом, $АМ = МВ = 7.5$ см.