Question

основанием пирамиды является ромб, диагонали которого d₁, d₂. Высота пирамиды проходит через вершину острого угла ромба. Площадь диагонального сечения, проведенного через меньшую диагональ, равна Q. Найти объем пирамиды при условии, что d₁>d₂

Answer 1

Дано:  $AC=d_1;\,\,\, BD=d_2,\,\,\,\, SA\perp ABCD$,  $S_{з SBD}=Q$

Найти: V.

Решение:

$S_{з SBD}= \frac{1}{2} BD \cdot SO=\frac{1}{2}d_2\cdot SO=Q$ отсюда выразим SO:
$SO= \frac{2Q}{d_2}$

Из треугольника SOA(∠SAO=90°): по т. Пифагора :
$SA= \sqrt{SO^2-SA^2} = \sqrt{ \dfrac{4Q^2}{d^2_2}- \dfrac{d_1^2}{4} } = \dfrac{\sqrt{16Q^2-d_1^2d_2^2}}{2d_2}$

Тогда объем пирамиды:

$V= \dfrac{1}{3}\cdot S_o\cdot h= \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} d_1\cdot d_2\cdot\dfrac{\sqrt{16Q^2-d_1^2d_2^2}}{2d_2} =\dfrac{d_1\sqrt{16Q^2-d_1^2d_2^2}}{12}$


Ответ:  $\dfrac{d_1\sqrt{16Q^2-d_1^2d_2^2}}{12}$

Answer 2

Давайте разберемся с задачей пошагово.

1. Начнем с поиска площади диагонального сечения, проведенного через меньшую диагональ d₂. Площадь сечения можно выразить через длину меньшей диагонали и высоту пирамиды:

   S = (1/2) * d₂ * h,

   где S - площадь сечения, d₂ - меньшая диагональ ромба, h - высота пирамиды.

2. Далее, поскольку высота пирамиды проходит через вершину острого угла ромба, то она является высотой боковой грани пирамиды. По свойствам ромба, высота ромба h может быть выражена через диагонали:

   h = √(d₁² - (d₂/2)²).

3. Подставив это выражение для высоты в формулу площади сечения, мы получаем:

   S = (1/2) * d₂ * √(d₁² - (d₂/2)²).

4. Наконец, объем пирамиды можно выразить через площадь сечения и высоту:

   V = (1/3) * S * h,

   где V - объем пирамиды.

5. Подставляя выражение для S и h, получаем:

   V = (1/3) * (1/2) * d₂ * √(d₁² - (d₂/2)²) * √(d₁² - (d₂/2)²),

   V = (1/6) * d₂ * √((d₁² - (d₂/2)²)²).

Итак, получается выражение для объема пирамиды в зависимости от длин диагоналей d₁ и d₂:

V = (1/6) * d₂ * √((d₁² - (d₂/2)²)²).

Пожалуйста, учтите, что это выражение может быть упрощено дальше, и оно дает объем пирамиды на основе заданных диагоналей.