Question

На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что угол АОВ — прямой. Отрезок ВС — диаметр окружности. Докажите, что хорды АВ и АС равны.

Answer 1

СО = ВО т к это радиусы окружности
Рассмотрим треугольник САВ
В нем АО - высота (т к угол АОВ прямой по условию),
и она же медиана (т к СО = ВО как радиусы окружности)
Если высота в треугольнике одновременно является и медианой, то этот треугольник равнобедренный (по признаку равнобедренного треугольника)
Следовательно, его боковые стороны равны. Т е АС = АВ. Доказано.

Answer 2

Для доказательства равенства хорд АВ и АС, нам нужно воспользоваться геометрическими свойствами окружности и треугольников.

Дано: Окружность с центром О, точки А и В на окружности, причем АОВ — прямой угол, и ВС — диаметр окружности.

Доказательство:

1. Так как ВС — диаметр окружности, то угол ВСО является прямым углом (угол, опирающийся на диаметр, всегда прямой).

2. Рассмотрим треугольник ВСО. В нем угол ВСО прямой, а угол ОВС тоже прямой, так как угол, заключенный между радиусом и хордой, равен половине центрального угла, соответствующего этой хорде.

3. Следовательно, треугольник ВСО является прямоугольным.

4. Так как треугольник ВСО прямоугольный, то по теореме Пифагора мы можем сказать, что $ВО^2 = ВС^2 + ОС^2$.

5. Рассмотрим теперь треугольник АВО. У него угол АОВ — прямой.

6. Следовательно, треугольник АВО также является прямоугольным.

7. По теореме Пифагора для треугольника АВО: $АО^2 = АВ^2 + ОВ^2$.

8. Поскольку $ОВ = ВС$ (половина диаметра), мы можем подставить это значение в формулы для $ВО^2$ и $АО^2$.

9. Получим: $ВО^2 = ВС^2 + ОС^2$ и $АО^2 = АВ^2 + ВС^2$.

10. Так как $ВО^2 = АО^2$ (радиусы окружности равны), мы можем приравнять выражения для $ВО^2$ и $АО^2$:

$ВС^2 + ОС^2 = АВ^2 + ВС^2$.

11. Вычитаем $ВС^2$ из обеих сторон уравнения:

$ОС^2 = АВ^2$.

12. Поскольку $ОС^2 = АВ^2$, это означает, что $ОС = АВ$.

Таким образом, мы доказали, что хорды АВ и АС равны: $АВ = ОС$.