Question

Расстояние от центра основания конуса до его образующей равно 2√3см, а угол при вершине осевого сечения 120°. Найдите высоту конуса и площадь осевого сечения. Пожалуйста напишите подробно с чертежом. Заранее спасибо.

Answer 1

Смотри во вложении.

Answer 2

Для решения этой задачи, нам понадобятся основные свойства конусов. Давайте обозначим данные величины на чертеже, чтобы лучше понять геометрию.

Дано:

• Расстояние от центра основания конуса до его образующей (ребра) = 2√3 см.
• Угол при вершине осевого сечения = 120°.

Приступим к решению:

Шаг 1: Найдем высоту конуса (h).

По свойству правильного треугольника, в котором все углы равны 60°, можно заметить, что у нас получается два прямоугольных треугольника. Один из них находится в половине осевого сечения и состоит из половины основания конуса, высоты и образующей.

Шаг 1.1: Рассмотрим прямоугольный треугольник из половины осевого сечения (A'B'C').

Нарисуем половину осевого сечения, где AC это образующая конуса, а B - центр основания:

cssCopy code
           B
           o
          / \
         /   \
        /     \
     A' o-----o C'

Обозначим расстояние от центра основания B до точки A' как x (см). Также, обозначим половину основания конуса BC как a (см) и высоту конуса h (см).

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник A'B'C' с углом 60° при вершине C'. Известно, что A'C' = 2√3 см (расстояние от центра основания до образующей).

Так как у нас есть прямоугольный треугольник, можно воспользоваться тригонометрической функцией тангенса для нахождения значения x:

scssCopy code
tan(60°) = x / A'C'
tan(60°) = x / 2√3
√3 = x / 2√3
x = 2

Шаг 1.2: Найдем высоту конуса h.

Теперь у нас есть правильный треугольник A'BC', в котором BC = a, A'B = x = 2 см, и угол BAC = 60°.

Мы знаем, что высота конуса (h) и BC связаны следующим соотношением:

cssCopy code
h = a * √3

Так как у нас треугольник с углом 60°, можно использовать тригонометрическую функцию косинуса, чтобы найти a:

cssCopy code
cos(60°) = a / A'B
cos(60°) = a / 2
a = 2 * cos(60°)
a = 1

Теперь, найдем высоту конуса:

makefileCopy code
h = 1 * √3
h = √3 см

Шаг 2: Найдем площадь осевого сечения.

Для нахождения площади осевого сечения, нам понадобятся радиусы малого и большого кругов, образующих осевое сечение.

Обозначим радиус малого круга как r1 и радиус большого круга как r2.

bashCopy code
          /\
         /  \
        /    \
       /______\
      |        |
      |        |
      |        |
      |        |
      |        |
      |        |
      |        |
       \      /
        \    /
         \  /
          \/

Так как у нас треугольник A'BC' прямоугольный с углом 60°, то можем найти значение r1:

luaCopy code
tan(60°) = r1 / A'C'
√3 = r1 / 2√3
r1 = 2

Теперь, зная высоту конуса h = √3 и радиус малого круга r1 = 2, можем найти радиус большого круга r2:

makefileCopy code
r2 = r1 + h
r2 = 2 + √3
r2 ≈ 2 + 1.732 ≈ 3.732 см

Шаг 3: Найдем площадь осевого сечения.

Теперь у нас есть радиус малого круга r1 = 2 и радиус большого круга r2 ≈ 3.732.

Площадь осевого сечения (S) можно найти как разность площадей большего и меньшего кругов:

makefileCopy code
S = π * r2^2 - π * r1^2
S = π * (3.732)^2 - π * 2^2
S ≈ π * 13.947024 - π * 4
S ≈ 43.85 - 12.57
S ≈ 31.28 см^2

Таким образом, высота конуса равна h = √3 см, а площадь осевого сечения равна S ≈ 31.28 см^2.