Question

В треугольнике ABC AB=BC=8, AC=6. Окружность, вписанная в треугольник, касается стороны AB в точке M. Найдите BM И чертёж, пожалуйста

Answer 1

Решение задания приложено

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойствами вписанной окружности в треугольнике.

Дано: AB = BC = 8 AC = 6

Пусть I - центр вписанной окружности, а r - радиус этой окружности.

Так как окружность касается стороны AB в точке M, то можно провести перпендикуляр из точки M к стороне AB. Этот перпендикуляр будет радиусом окружности, и он также будет пересекать сторону AC в некоторой точке, скажем, P.

По свойству вписанной окружности, сумма отрезков MP и PB должна быть равна длине стороны AB:

MP + PB = AB MP + r + r = AB MP + 2r = AB

Также, по свойству вписанной окружности, отрезки BM и MC будут равны:

BM = MC

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике AMP:

AM^2 + MP^2 = AP^2

AM = AC - CM AM = 6 - BM (так как BM = MC)

Подставим AM в уравнение:

(6 - BM)^2 + MP^2 = AP^2 36 - 12BM + BM^2 + MP^2 = AP^2

С учетом того, что MP + 2r = AB и что AP = AC - CP, где CP = BM:

MP + 2r = 8 MP = 8 - 2r

AP = AC - CP AP = 6 - BM

Теперь подставим MP и AP в уравнение:

36 - 12BM + BM^2 + (8 - 2r)^2 = (6 - BM)^2 36 - 12BM + BM^2 + 64 - 32r + 4r^2 = 36 - 12BM + BM^2

Упростим уравнение:

4r^2 - 32r + 64 = 0 r^2 - 8r + 16 = 0

Это квадратное уравнение можно разложить на множители:

(r - 4)^2 = 0

Отсюда получаем, что r = 4.

Теперь мы знаем радиус вписанной окружности, который равен половине периметра треугольника минус половина длины стороны AC:

r = (AB + BC + AC) / 2 - AC / 2 4 = (8 + 8 + 6) / 2 - 6 / 2

Таким образом, радиус вписанной окружности равен 4.

Теперь мы можем найти BM:

BM = AM - r BM = 6 - 4 BM = 2

Итак, BM = 2.

Чертеж:

cssCopy code
       A
      / \
     /   \
  6 /     \ 6
   /       \
  /____M____\
 B     8     C

На чертеже точка M - точка касания вписанной окружности со стороной AB, а BM - искомая длина.