Question

В параллелограмме АВСD: K и М - середины сторон BC и CD, AK=вектору a, AM=вектору b. Выразить вектор DA через вектора a и b.

Answer 1

АК = а; АМ = в; АД = ?
ДМ = ДА + АМ
ДМ = ДА + в

АК + КС = АС
АМ + МС = АС
КС = -ДА/2
МС = ДМ = ДА + в
а + (-ДА/2) = в + ДА + в
а - 2в = 3ДА/2
ДА = 2(а - 2в)/3

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами параллелограмма. В параллелограмме, середины диагоналей соединяются прямой и равны половине диагонали. Таким образом, можно записать следующее:

$\overrightarrow{AK} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BD}$ $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BC}$

Мы также знаем, что сумма векторов в параллелограмме равна нулю:

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{0}$

Теперь мы можем выразить векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ через $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ используя соотношения:

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{b} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{b} + \frac{1}{2}\overrightarrow{a}$ $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CK} + \overrightarrow{KD} = \overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{b}$

Теперь мы можем выразить вектор $\overrightarrow{DA}$:

$\overrightarrow{DA} = -\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{CD}$ $\overrightarrow{DA} = -\left(\overrightarrow{b} + \frac{1}{2}\overrightarrow{a}\right) - \left(\overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{b}\right)$