Question

Требуется решить НЕ через косинусы, с подробным объяснением. В ответе должно получится: 8. Заранее спасибо. Боковая сто­ро­на рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равна 4. Угол при вершине, про­ти­во­ле­жа­щий основанию, равен 120°. Най­ди­те диа­метр окружности, опи­сан­ной около этого треугольника.

Answer 1

©OAR⠀ ⠀ ⠀ ⠀ ⠀ ⠀ ⠀ ⠀ ⠀ ⠀ ⠀ ⠀ ⠀

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся законом синусов. Закон синусов гласит:

В любом треугольнике со сторонами a, b и c и противолежащими углами A, B и C соответственно, верно следующее равенство:

$\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}$

В данной задаче у нас есть равнобедренный треугольник, у которого сторона a равна 4 и угол A противолежащий основанию (боковой стороне равнобедренного треугольника) равен 120°.

Пусть сторона, равная 4, обозначается как a, а угол 120° обозначим как A.

Так как треугольник равнобедренный, то у него две равные стороны. Пусть такая сторона равна b. Также, пусть диаметр окружности, описанной около треугольника, равен d.

Теперь мы можем воспользоваться законом синусов для нахождения диаметра d:

$\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)}$

Мы знаем значения a и A:

$\frac{4}{\sin(120°)} = \frac{b}{\sin(B)}$

Значение $\sin(120°)$ можно найти, используя тригонометрическое тождество $\sin(180° - \theta) = \sin(\theta)$:

$\sin(120°) = \sin(180° - 120°) = \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь мы можем продолжить:

$\frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{b}{\sin(B)}$

Упростим выражение:

$\frac{4 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{b}{\sin(B)}$

$\frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{b}{\sin(B)}$

Теперь найдем значение $\sin(B)$:

$\sin^2(B) + \cos^2(B) = 1$

Так как у нас равнобедренный треугольник, угол B равен 30° (половина угла при основании, который равен 60°).

$\sin^2(30°) + \cos^2(30°) = 1$

$\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1$

$\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$

Таким образом, $\sin(30°) = \frac{1}{2}$.

Теперь подставим значение $\sin(B)$ в уравнение:

$\frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{b}{\frac{1}{2}}$

Умножим обе стороны на 2:

$b = \frac{16}{\sqrt{3}}$

Теперь у нас есть значение стороны b равное $\frac{16}{\sqrt{3}}$.

Наконец, чтобы найти диаметр d окружности, описанной около треугольника, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора:

$d^2 = a^2 + b^2$

$d^2 = 4^2 + \left(\frac{16}{\sqrt{3}}\right)^2$