Question

На стороне BC параллелограмма ABCD отмечены точки M так, что BM: MC = 1: 3. Почему равны площадь треугольника ABM, если площадь параллелограмма равны S? Помогите пожалуйста, (

Answer 1

На стороне ВС параллелограмма ABCD отмечена такая точка М, что ВМ : МС = 1 : 3. Чему равна площадь треугольника АВМ, если площадь параллелограмма равна S?

Чертёж смотрите во вложении.

Дано:

Четырёхугольник ABCD - параллелограмм.

Точка М ∈ ВС.

ВМ : МС = 1 : 3.

S(ABCD) - S.

Найти:

S(ΔАВМ) = ?

Решение:

Пусть ВМ = х, тогда МС = 3х, АВ = у. Площадь ΔАВМ обозначим как S₁.

Площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон и синусу угла между ними.

Следовательно -

S(ABCD) = ВС*АВ*sin (∠В)

ВС = ВМ+МС = х+3х = 4х.

То есть -

S = 4ху*sin (∠В)

Рассмотрим ΔАВМ.

Площадь треугольника равна половине произведения смежных сторон и синуса угла меду ними.

То есть -

S(ΔАВМ) = 0,5*ВМ*АВ*sin (∠В)

S₁ = 0,5*хy*sin (∠В).

$></p> <p><strong>Из первого уравнения системы следует, что - </strong></p> <p><img src=$

Подставим это значения во второе уравнение системы -

$S = 4*\frac{S_{1} }{0,5*sin(B)} *sin (B)}}\\\\S=4*\frac{S_{1} }{0,5} \\\\S=8*S_{1} \\\\ S_{1} =\frac{S}{8}$

S(ΔАВМ) = S(ABCD)/8

S(ΔАВМ) = S/8.

Ответ: S/8.

Answer 2

Для того чтобы показать, что площадь треугольника ABM равна площади треугольника BMC, рассмотрим параллелограмм ABCD и треугольник ABM.

Обозначим площадь треугольника ABM как S1 и площадь треугольника BMC как S2.

Мы знаем, что BM:MC = 1:3. Это означает, что отношение площадей треугольников ABM и BMC равно квадрату этого отношения, так как площадь прямоугольного треугольника пропорциональна квадрату длин его сторон.

То есть, S1:S2 = (BM:MC)^2 = (1:3)^2 = 1:9.

Теперь, учитывая, что площадь параллелограмма ABCD равна S, мы можем выразить площади треугольников ABM и BMC через S:

S = S1 + S2

Так как S1:S2 = 1:9, то S1 = (1/10) * S и S2 = (9/10) * S.

Таким образом, площадь треугольника ABM равна (1/10) * S, а площадь треугольника BMC равна (9/10) * S. Таким образом, площади треугольников равны.

Итак, мы доказали, что площадь треугольника ABM равна площади треугольника BMC, когда точка M делит сторону BC параллелограмма ABCD в отношении 1:3.