Question

Сформулируйте и докажите теорему о перпендикуляре, проведенном из данной точки к заданной прямой.

Answer 1

Через данную точку к данной прямой можно провести перпендикуляр и только один. Eсли предположить, что можно провести, скажем, два перпендикуляра из заданной точки, то в получившемся треугольнике будет два прямых угла, что невозможно.

Answer 2

Теорема о перпендикуляре, проведенном из данной точки к заданной прямой:

Пусть дана прямая l и точка P, не лежащая на этой прямой. Тогда существует единственная прямая, проходящая через точку P и перпендикулярная к прямой l.

Доказательство:

1. Существование перпендикуляра: Пусть дана прямая l и точка P, не лежащая на этой прямой. Возьмем произвольную точку A на прямой l. Проведем отрезок PA и отрезок AB, где точка B лежит на прямой l. Заметим, что отрезок AB и прямая l образуют угол, и мы хотим найти такую прямую, которая пересекает прямую l и образует с ней прямой угол в точке P.

2. Рассмотрим прямую m, проходящую через точку P и параллельную прямой l. Теперь у нас есть две параллельные прямые: l и m. Так как параллельные прямые имеют равные углы, угол между отрезками PA и AB на прямой m также равен углу между прямой l и отрезком AB. Обозначим этот угол как α.

3. Теперь рассмотрим прямую n, проходящую через точку P и перпендикулярную к прямой l. Если мы найдем такую прямую n, что угол между отрезками PA и AB на этой прямой равен нулю (то есть прямой угол), то это будет означать, что прямая n перпендикулярна к прямой l.

4. Предположим, что прямая n не существует, то есть невозможно провести прямую, пересекающую прямую l и образующую прямой угол с отрезком AB. Это значит, что на прямой m нет такой точки, в которой угол между отрезками PA и AB равен нулю. Но это противоречит тому, что угол α между этими отрезками на прямой m равен углу между прямой l и отрезком AB.

5. Из противоречия в пункте 4 следует, что прямая n существует, и она является искомым перпендикуляром, проведенным из точки P к прямой l.

Таким образом, теорема о перпендикуляре доказана: через данную точку P можно провести единственный перпендикуляр к заданной прямой l.