Question

В прямоугольную трапецию вписана окружность. Точка касания делит большую из боковых сторон трапеции на отрезки 4 см и 25 см. Найдите периметр трапеции.

Answer 1

Пусть высота равна 2х тогда малое основание х+4, нижнее основание х+ 25 , большая боковая сторона 25+4= 29 отсюда большее основание больше меньшего на 25 -4=21 откуда по Пифагору 29^2-21^2=400
высота- 20 см малое основание 10+4=14 большее -10+25=35 отсюда площадь (14+35)×10/2=245

Answer 2

Пусть трапеция ABCD имеет следующие стороны:

AB - меньшее основание (длина отрезка, где касается окружность), CD - большее основание (длина отрезка, где касается окружность), BC и AD - боковые стороны трапеции.

Точка касания окружности с большей боковой стороной делит её на отрезки длиной 4 см и 25 см.

Так как окружность вписана в трапецию, то точка касания является серединой большей боковой стороны CD.

Пусть точка касания обозначается как M. Тогда MC = 4 см и MD = 25 см.

Также, мы знаем, что касательная к окружности всегда перпендикулярна радиусу в точке касания. Поэтому AM и BM являются радиусами окружности.

Теперь, если обозначить радиус окружности как r, то получаем:

AM = BM = r.

Также, трапеция ABCD имеет два прямоугольных треугольника: AMC и BMD.

В прямоугольном треугольнике AMC применяем теорему Пифагора:

AM^2 + MC^2 = AC^2, r^2 + 4^2 = AC^2, r^2 + 16 = AC^2. (Уравнение 1)

В прямоугольном треугольнике BMD также применяем теорему Пифагора:

BM^2 + MD^2 = BD^2, r^2 + 25^2 = BD^2, r^2 + 625 = BD^2. (Уравнение 2)

Так как точка касания делит большую боковую сторону CD на две части, то сумма этих частей равна её длине:

AC + BD = 25 + 4 = 29. (Уравнение 3)

Теперь мы можем найти периметр трапеции:

Периметр = AB + BC + CD + DA.

Так как трапеция ABCD - вписанная, то сумма противоположных сторон равна радиусу окружности умноженному на 2:

AB + CD = 2r.

Из уравнения 3 следует, что:

AB + CD = 29.

Теперь, используя уравнения 1 и 2, можем выразить AB и CD через r:

AB = AC - MC = √(r^2 + 16) - 4, CD = BD - MD = √(r^2 + 625) - 25.

Таким образом, периметр трапеции:

Периметр = AB + BC + CD + DA = (√(r^2 + 16) - 4) + BC + (√(r^2 + 625) - 25) + BC.

Так как BC - боковая сторона трапеции, то она равна AM + BM:

BC = AM + BM = r + r = 2r.

Подставим это обратно в выражение для периметра:

Периметр = (√(r^2 + 16) - 4) + 2r + (√(r^2 + 625) - 25) + 2r = √(r^2 + 16) + √(r^2 + 625) + 4r - 29.

Теперь нам нужно найти значение r. Для этого воспользуемся информацией о длинах MC и MD:

MC + MD = 4 + 25 = 29.

Так как точка M - середина большей боковой стороны CD, то получаем:

CD = 2 * MC.

Подставим это в уравнение:

2 * MC + MC = 29, 3 * MC = 29, MC = 29 / 3 ≈ 9.67.

Теперь найдём BD, используя уравнение 2:

BD = √(r^2 + 625).

Так как MD = 25 см, то:

MD = BD / 2, 25 = √(r^2 + 625) / 2, 50 = √(r^2 + 625), 2500 = r^2 + 625, r^2 = 2500 - 625, r^2 = 1875, r ≈ √1875 ≈ 43.3.

Теперь, вычислим периметр:

Периметр = √(r^2 + 16) + √(r^2 + 625) + 4r - 29 = √(43.3^2 + 16) + √(43.3^2 + 625) + 4 * 43.3 - 29 ≈ √1875.89 + √1898.89 + 173.2 - 29 ≈ 43.3 + 43.6 + 144.2 ≈ 231.1 см.

Ответ: Периметр трапеции составляет примерно 231.1 см.