Question

В прямоугольную трапецию вписана окружность. Точка касания делит большую из боковых сторон трапеции на отрезки 4 см и 25 см. Найдите площадь трапеции.

Answer 1

Если в трапецию вписана окружность, длина ее средней линии равна сумме длины боковых сторон деленная на два;
Точка касания окружности с радиусом r, вписанной в трапецию, разбивает боковую сторону на два отрезка a и b. Радиус окружности можно вычислить по формуле: r = √ab;

Answer 2

Пусть AB и CD - основания трапеции, а EF - точка касания окружности с боковой стороной трапеции.

Пусть EF = x см. Тогда, по условию задачи, CE = 4 см и DE = 25 см.

Заметим, что точка касания окружности с основанием AB делит его на две равные части. Поэтому, AE = EB.

Также, заметим, что треугольник CEF и треугольник DEF являются прямоугольными треугольниками, так как касательная к окружности всегда перпендикулярна радиусу.

Из прямоугольности треугольников CEF и DEF следует, что CE * EF = CF^2 и DE * EF = DF^2.

Подставим значения CE = 4 см и DE = 25 см:

4 * x = CF^2 25 * x = DF^2

Так как AE = EB, то CF = DF = (AB - x)/2.

Подставим значения CF = (AB - x)/2 и DF = (AB - x)/2:

4 * x = ((AB - x)/2)^2 25 * x = ((AB - x)/2)^2

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

4 * x = (AB^2 - 2 * AB * x + x^2)/4 25 * x = (AB^2 - 2 * AB * x + x^2)/4

Умножим обе части первого уравнения на 4 и второго уравнения на 100:

16 * x = AB^2 - 2 * AB * x + x^2 2500 * x = AB^2 - 2 * AB * x + x^2

Сложим оба уравнения:

16 * x + 2500 * x = AB^2 - 2 * AB * x + x^2 + AB^2 - 2 * AB * x + x^2

2516 * x = 2 * AB^2 - 4 * AB * x + 2 * x^2

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

2 * x^2 - 4 * AB * x + (2 * AB^2 - 2516 * x) = 0

Так как это квадратное уравнение, можно найти его дискриминант и решить его.

Дискриминант D = (-4 * AB)^2 - 4 * 2 * (2 * AB^2 - 2516 * x) = 16 * AB^2 - 8 * AB^2 + 10064 * x = 8 * AB^2 + 10064 * x

Так как D должен быть неотрицательным, получаем:

8 * AB^2 + 10064 * x >= 0

AB^2 >= -10064 * x/8

AB^2 >= -1258 * x

Так как AB и x положительные величины, то можно возвести обе части неравенства в квадрат:

AB^4 >= 1258^2 * x^2

AB^4 >= 1588164 * x^2

AB^2 >= sqrt(1588164) * x

AB^2 >= 1260 * x

AB >= sqrt(1260) * sqrt(x)

AB >= 35.49 * sqrt(x)

Таким образом, основание AB должно быть больше или равно 35.49 * sqrt(x).

Основание AB должно быть больше суммы боковых сторон CE и DE:

AB > CE + DE

AB > 4 + 25

AB > 29

Таким образом, основание AB должно