Question

Площадь плоской фигуры ограниченной линиями y sinx ;y cosx ;x=0 ; x=pi/4

Answer 1

$S = \int\limits^\frac{\pi}{4}_0 {cos(x)-sin(x)} \, dx =\\ = sin(\frac{\pi}{4}) - sin(0) - (-cos(\frac{\pi}{4}) + cos(0))=\\ = \frac{1}{\sqrt{2}} - 0 + \frac{1}{\sqrt{2}} - 1 = \\ = \frac{2}{\sqrt{2}} - 1 = \sqrt{2} - 1$
S ≈ 0,4142

Answer 2

Для определения площади плоской фигуры, ограниченной указанными линиями, нужно найти точки их пересечения и затем проинтегрировать разность координат функций.

Первым шагом найдем точки пересечения линий y = sin(x) и y = cos(x):

sin(x) = cos(x) cos(x) - sin(x) = 0 Такие точки пересечения будут являться пределами интегрирования.

Решим уравнение:

cos(x) - sin(x) = 0

Добавим к обеим сторонам sin(x) и применим тригонометрическую формулу сложения для sin:

cos(x) - sin(x) + sin(x) = sin(x) cos(x) = sin(x)

Теперь, используем trigonometric identity: cos(x) = sin(x + π/2)

sin(x + π/2) = sin(x) Теперь установим, что:

x + π/2 = x π/2 = 0

Таким образом, у нас есть следующие точки пересечения:

x = 0 и x = π/2

Для нахождения площади, проинтегрируем разность функций sin(x) и cos(x) в интервале [0, π/2]:

Площадь = ∫[0, π/2] (sin(x) - cos(x)) dx

Интегрируя разность sin(x) и cos(x):

∫(sin(x) - cos(x)) dx = -cos(x) - sin(x)

Теперь вычислим площадь:

Площадь = [-cos(x) - sin(x)] от x=0 до x=π/2 Площадь = [-(cos(π/2) + sin(π/2))] - [-(cos(0) + sin(0))] Площадь = [-(0 + 1)] - [-(1 + 0)] Площадь = [-(-1)] - [-(1)] Площадь = 1 - (-1) Площадь = 2

Таким образом, площадь плоской фигуры, ограниченной линиями y = sin(x), y = cos(x), x = 0 и x = π/2, равна 2.