Question

В треугольнике АВС угол B вдвое больше угла С, а угол А - тупой. Точка К на стороне ВС такова, что угол КАС - прямой. Докажите, что КС=2АВ.

Answer 1

Объяснение:  Примем угол АСВ=х, тогда угол АВС=2х

В прямоугольном ⊿ САК проведем медиану АМ. По свойству медианы прямоугольного треугольника АМ=СМ=КМ.

=> ∆ АМС равнобедренный, и угол МАС=угол АСМ=х.

  По свойству внешнего угла угол АМК при вершине М треугольника АМС равен сумме двух внутренних, не смежных с ним. => угол АМК=2х

В треугольнике МАВ углы при основании МВ равны 2х. Треугольник МАВ равнобедренный. АВ=АМ. Но КС=2 АМ, а т.к. АВ=АМ,  то КС=2АВ

Answer 2

Для доказательства равенства КС = 2АВ, давайте рассмотрим данные условия и вспомним некоторые свойства треугольников:

1. Угол B вдвое больше угла С: Угол B = 2 * Угол С

2. Угол А - тупой: Угол А > 90°

3. Угол КАС - прямой: Угол КАС = 90°

Теперь предположим, что точка КС = 2АВ.

Для начала заметим, что если угол B вдвое больше угла С, то угол C меньше угла B, так как угол B = 2 * угол C. Также, так как угол А тупой (больше 90°), то угол B также тупой, так как он больше угла С.

Теперь обратим внимание на треугольник КАС. Угол КАС = 90°, а также угол КАВ = угол B (по определению). Таким образом, угол ВКС = 180° - угол КАС - угол КАВ = 180° - 90° - угол B = 90° - угол B.

Поскольку угол B тупой (больше 90°), угол ВКС положителен и меньше 90°.

Следовательно, угол ВКС меньше угла ВСА (угол ВСА = 90°, так как угол КАС - прямой). Так как угол ВКС меньше угла ВСА, то сторона КС должна быть меньше стороны ВА, то есть КС < ВА.

Теперь сравним КС с 2АВ: КС < ВА < 2АВ.

Из всех предположений, что КС = 2АВ, получаем противоречие. Таким образом, наше предположение неверно, и КС не может быть равно 2АВ.

Заключение: КС ≠ 2АВ.