Question

Найти угол между векторами АВ и СD, если А (1;0;2), В (1; √3; 3), С ( -1;0;3), D (-1;-1;3)

Answer 1

AB=(1-1,sqrt3-0,3-2)=(0,sqrt3,1)
Cd=(-1-(-1),-1-0,3-3)=(0,-1,0)
Cosl=(0,sqrt3,1)*(0,-1,0)/sqrt(0^2+(sqrt3)^2+1^2)*(0^2+(-1)^2+0^2)=(-sqrt3)/2

Answer 2

Чтобы найти угол между двумя векторами, нужно вычислить косинус угла между ними. Для этого воспользуемся формулой для косинуса угла между векторами:

$\cos(\theta) = \frac{\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}}{\|\mathbf{A}\| \|\mathbf{B}\|}$

где $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ - векторы, $\cdot$ - операция скалярного произведения векторов, $\|\mathbf{A}\|$ - длина вектора $\mathbf{A}$ (его норма).

1. Найдем векторы $\mathbf{AB}$ и $\mathbf{CD}$ путем вычитания координат исходных точек:

$\mathbf{AB} = \mathbf{B} - \mathbf{A} = (1 - 1; \sqrt{3} - 0; 3 - 2) = (0; \sqrt{3}; 1)$

$\mathbf{CD} = \mathbf{D} - \mathbf{C} = (-1 - (-1); -1 - 0; 3 - 3) = (0; -1; 0)$

2. Вычислим скалярное произведение векторов $\mathbf{AB}$ и $\mathbf{CD}$:

$\mathbf{AB} \cdot \mathbf{CD} = 0 \cdot 0 + \sqrt{3} \cdot (-1) + 1 \cdot 0 = -\sqrt{3}$

3. Найдем длины векторов $\mathbf{AB}$ и $\mathbf{CD}$:

$\|\mathbf{AB}\| = \sqrt{0^2 + (\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 3 + 1} = \sqrt{7}$

$\|\mathbf{CD}\| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$

4. Теперь можем вычислить косинус угла между векторами:

$\cos(\theta) = \frac{\mathbf{AB} \cdot \mathbf{CD}}{\|\mathbf{AB}\| \|\mathbf{CD}\|} = \frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{7} \cdot 1} = -\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$

5. Наконец, найдем угол $\theta$ между векторами с помощью обратной функции косинуса (арккосинуса):

$\theta = \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\right) \approx 133.93^\circ$

Таким образом, угол между векторами $\mathbf{AB}$ и $\mathbf{CD}$ составляет приблизительно 133.93 градуса.