Question

1)В параллелограмме ABCD биссектриса острого угла A пересекает сторону BC в точке F.//// BF:FC=2:3. Периметр параллелограмма равен 56 см . Найдите длины его сторон

Answer 1

1)BAF=AFB как накрест лежащие⇒AB=BF
BF/FC=2/3
BC=x⇒ab=(2/5)x
x+(2/5)x=28
x=28/(7/5)
x=20
20*2/5=8

Answer 2

Для решения этой задачи давайте обозначим длины сторон параллелограмма ABCD. Пусть сторона AB имеет длину a, сторона BC имеет длину b, сторона CD имеет длину c и сторона DA имеет длину d.

Так как параллелограмм ABCD имеет периметр 56 см, то:

Периметр = a + b + c + d = 56 ----(1)

Мы знаем, что биссектриса угла A делит сторону BC на отрезки BF и FC в отношении 2:3. Пусть длина BF равна 2x, а длина FC равна 3x, где x - некоторое положительное число.

Тогда длина стороны BC равна:

BC = BF + FC = 2x + 3x = 5x

Теперь нам нужно найти значения x и длины сторон a, b, c и d.

Используем теорему синусов для треугольника ABC:

sin(A) = BF / AB

Также у нас есть теорема синусов для треугольника ADF:

sin(A) = DF / AD

Поскольку эти углы совпадают, то:

BF / AB = DF / AD

Так как AB = CD (поскольку это стороны параллелограмма), то AB = c.

Также DF = DC - FC = c - 3x.

Теперь у нас есть уравнение:

2x / c = (c - 3x) / d ----(2)

Теперь у нас есть система уравнений (1) и (2). Решим её:

(1) a + 5x + d = 56 (2) 2x / c = (c - 3x) / d

Мы знаем, что BF:FC=2:3, поэтому:

2x / 3x = 2 / 3 2x * 3 = 2 * 3x 6x = 6x

Таким образом, у нас есть тождество, и значение x может быть любым. Возьмем x = 4, чтобы упростить расчеты.

Теперь, подставим x = 4 в уравнения:

Из (1): a + 5 * 4 + d = 56 a + 20 + d = 56 a + d = 56 - 20 a + d = 36 ----(3)

Из (2): 2 * 4 / c = (c - 3 * 4) / d 8 / c = (c - 12) / d 8d = c(c - 12) ----(4)

Теперь у нас есть два уравнения (3) и (4). Найдем значения c и d:

Из (4): 8d = c(c - 12)

Поскольку c и d являются положительными, попробуем значения c = 8 и d = 9:

8 * 9 = 8 * (8 - 12) 72 = 8 * (-4) 72 = -32 (не верно)

Значения c = 8 и d = 9 не подходят.

Теперь попробуем c = 16 и d = 20:

8 * 20 = 16 * (16 - 12) 160 = 16 * 4 160 = 160 (верно)

Значения c = 16 и d = 20 подходят.

Теперь, используя уравнение (3):

a + d = 36 a + 20 = 36 a = 36 - 20 a = 16

Итак, длины сторон параллелограмма ABCD равны:

AB = CD = c = 16 см BC = 5x = 5 * 4 = 20 см DA = d = 20 см AC = BD (диагонали параллелограмма) = a + c = 16 + 16 = 32 см