Question

В треугольнике АВС проведены высоты АЕ и СD. Найти АВ, если BD=18, BC =30, AE=20

Answer 1

Решение

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника BDCнаходим, что

CD2 = BC2 - BD2 = 302 - 182 = (30 - 18)(30 + 18) = 12 . 48 = 122 . 22,

значит, CD = 24.

Пусть S — площадь треугольника. Тогда

S = 1/2AB х CD и S = 1/2BC х AE,

поэтому AB . CD = BC . AE, откуда

AB = (BC x AE) :CD  = (30 x 20):24= 25.

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами высот треугольника.

Дано:

1. Треугольник ABC, в котором проведены высоты AE и CD.
2. Значения высот AE = 20 и CD = неизвестно (пусть обозначим его как x).

Мы можем использовать триангуляцию треугольника, чтобы найти отношение высоты к основанию:

В прямоугольном треугольнике ABE и CBD:

1. ABE подобен CBD по общему углу (у каждого прямого угла).
2. Отношение подобных сторон в подобных треугольниках равно (по теореме о подобных треугольниках).

Таким образом, отношение высоты к основанию в треугольниках ABE и CBD одинаково: ABE: AE / AB = 20 / AB CBD: CD / BD = x / 18

Также у нас есть третья высота CE. В прямоугольном треугольнике BCE:

1. BCE подобен CBD по общему углу (у каждого прямого угла).
2. Отношение высот к основаниям также одинаково: BCE: CE / BC = x / 30

Теперь, когда мы знаем, что отношение высоты к основанию в треугольниках ABE, CBD и BCE одинаково, мы можем написать уравнение:

20 / AB = x / 18 = x / 30

Давайте решим это уравнение для x:

20 / AB = x / 18

Перемножим обе стороны на 18:

20 * 18 / AB = x

Теперь, найдя значение x, мы сможем найти длину стороны AB.

x = 20 * 18 / AB

Теперь, используем второе отношение, чтобы найти AB:

x / 30 = CD / 30

Подставляем значение x:

(20 * 18 / AB) / 30 = CD / 30

Упрощаем:

20 * 18 = AB * CD

Теперь, чтобы найти AB, делим 20 * 18 на CD:

AB = (20 * 18) / CD

Теперь нам нужно найти значение CD. Мы знаем, что CD - это вторая высота треугольника ABC. Можем использовать формулу площади треугольника:

Площадь треугольника ABC = (1/2) * AB * CD

Мы знаем площадь треугольника ABC, так как у нас есть все стороны:

Площадь треугольника ABC = (1/2) * AB * BC

Подставляем значение AB:

Площадь треугольника ABC = (1/2) * ((20 * 18) / CD) * BC

Теперь можно найти CD:

(1/2) * ((20 * 18) / CD) * BC = Площадь треугольника ABC

CD = (20 * 18 * BC) / (2 * Площадь треугольника ABC)

Теперь, чтобы получить значение AB, мы можем подставить найденное значение CD в уравнение для AB:

AB = (20 * 18) / CD

AB = (20 * 18) / ((20 * 18 * BC) / (2 * Площадь треугольника ABC))

AB = 2 * Площадь треугольника ABC / BC

Наконец, вычислим площадь треугольника ABC:

Площадь треугольника ABC = (1/2) * BC * AE

Площадь треугольника ABC = (1/2) * 30 * 20

Площадь треугольника ABC = 300

Теперь, подставим это значение в формулу для AB:

AB = 2 * 300 / 30

AB = 20

Таким образом, сторона AB треугольника ABC равна 20.