Question

Около равнобедренного треугольника с основанием 20 см и углом при основании 75 описана окружность. Найдите радиус этой окружности.

Answer 1

R = a/2sinα , где R  - радиус описанной окружности a - длина стороны, в данной задаче это основании 20 см  sinα - это синус угла, противолежащего основанию α = 180° - 2 * 75° = 30°  - сумма углов треугольника 180° вычли два равных угла при основании 2 * 75° и нашли угол α = 30° А теперь находим R = a/ 2sin30°  = 20 см : (2 * 1/2) = 20 см : 1 = 20 смОтвет: R = 20 см

Answer 2

Для нахождения радиуса описанной окружности около равнобедренного треугольника с углом при основании 75°, нам понадобится использовать теорему синусов.

Теорема синусов утверждает, что для любого треугольника с сторонами a, b и c, и соответствующими противолежащими углами A, B и C:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

В данном случае, у нас есть равнобедренный треугольник с основанием 20 см, что означает, что два угла при основании равны 75° каждый, и радиус описанной окружности является гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного диаметром и высотой, опущенной из вершины на основание.

Пусть r - радиус окружности. Тогда сторона треугольника, которая равна радиусу окружности (гипотенуза), составит 2r (так как у нас равнобедренный треугольник). Также, высота, опущенная из вершины на основание, будет равна высоте треугольника, что также будет половиной стороны треугольника, то есть 10 см.

Теперь можем применить теорему синусов для нашего треугольника:

$\frac{r}{\sin 75°} = \frac{10}{\sin 45°}$

Так как $\sin 75° = \sin (45° + 30°) = \sin 45° \cdot \cos 30° + \cos 45° \cdot \sin 30° = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ и $\sin 45° = \cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то:

$\frac{r}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

Далее, домножим обе стороны на $\frac{4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$:

$r = \frac{10 \cdot 4}{\sqrt{2} \cdot (\sqrt{6} + \sqrt{2})} = \frac{40}{\sqrt{2} \cdot (\sqrt{6} + \sqrt{2})}$

Чтобы упростить радикал в знаменателе, домножим и числитель, и знаменатель на $(\sqrt{6} - \sqrt{2})$:

$r = \frac{40 \cdot (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot (\sqrt{6} - \sqrt{2})}$ $r = \frac{40 \cdot (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2}$ $r = \frac{40 \cdot (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$