Question

На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку Е. Докажите, что сумма площадей треугольников ВЕС и АЕD равна половине площади трапеции.

Answer 1

Средняя линия трапеции делит высоты трапеции пополам. Пусть высота трапеции h, тогда площадь треугольника BEC равна BC*h/4;
Аналогично площадь треугольника AED: AD*h/4; В сумме: (BC+AD)*h/4, в то время как площадь трапеции равна (BC+AD)*h/2, что ровно в два раза больше. 

Answer 2

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом сопоставления.

Пусть $h$ - высота трапеции $ABCD$, проведенная к основаниям $AD$ и $BC$.

Площадь треугольника $BES$ равна $\frac{1}{2} \cdot BE \cdot h$, а площадь треугольника $AED$ равна $\frac{1}{2} \cdot AE \cdot h$.

Теперь рассмотрим сумму площадей этих двух треугольников:

$\text{Площадь} (BES) + \text{Площадь} (AED) = \frac{1}{2} \cdot BE \cdot h + \frac{1}{2} \cdot AE \cdot h$

Факторизуем выражение:

$\text{Площадь} (BES) + \text{Площадь} (AED) = \frac{h}{2} \cdot (BE + AE)$

Так как $BE$ и $AE$ - это длины отрезков, которые образуют основания трапеции $ABCD$, то:

$BE + AE = AD$

Таким образом:

$\text{Площадь} (BES) + \text{Площадь} (AED) = \frac{h}{2} \cdot AD$

Теперь заметим, что $\frac{h}{2}$ - это высота трапеции $ABCD$, опущенная на основание $AD$ или $BC$. Обозначим эту высоту как $h'$.

Таким образом:

$\text{Площадь} (BES) + \text{Площадь} (AED) = h' \cdot AD$

Но площадь трапеции $ABCD$ равна $h' \cdot \frac{AD + BC}{2}$. Вспомним, что $AD + BC$ - это длина верхнего основания трапеции, которое равно длине нижнего основания $AB$.

Таким образом, площадь трапеции равна $h' \cdot AB$.

Но поскольку $AB = AD$, то:

$\text{Площадь} (BES) + \text{Площадь} (AED) = \frac{1}{2} \cdot \text{Площадь} (ABCD)$

Таким образом, мы доказали, что сумма площадей треугольников $BES$ и $AED$ равна половине площади трапеции $ABCD$.