Question

Решите,пожалуйста,тригонометрическое уравнение. sin^2x-3cosx=3 cosx+sin2x=0

Answer 1

sin²x - 3cosx - 3 = 0

1 - cos²x - 3cosx - 3 = 0

cos²x + 3cosx +2 = 0

cosx = t

t² + 3t + 2 = 0

D = 9 - 8 = 1

t1 = 0.5( - 3 - 1) = -2 не подходит, так как t = соsx ≤1

t2 = 0.5( -3 + 1) = -1

cosx = -1

x = π + 2πk k∈Z

cosx + sin2x = 0

cosx + 2 cosx · sinx = 0

cosx (1 + 2sinx) = 0

1) cosx = 0

x1 = π/2 + πk k∈Z

2) 1 + 2sinx = 0

2sinx = -1

sinx = -1/2

x2 = -π/2 + 2πk k∈Z

x3 = -5π/6 + 2πk k∈z

Answer 2

Давайте решим данное тригонометрическое уравнение.

Уравнение 1: sin^2(x) - 3cos(x) = 3

Для начала заметим, что sin^2(x) + cos^2(x) = 1. Можем использовать это равенство, чтобы переписать уравнение 1:

1 - cos^2(x) - 3cos(x) = 3

Теперь заменим cos^2(x) на (1 - sin^2(x)):

1 - (1 - sin^2(x)) - 3cos(x) = 3

Раскроем скобки:

1 - 1 + sin^2(x) - 3cos(x) = 3

Упростим:

sin^2(x) - 3cos(x) = 2

Уравнение 2: cos(x) + sin(2x) = 0

Теперь рассмотрим уравнение 2. Заметим, что sin(2x) = 2sin(x)cos(x):

cos(x) + 2sin(x)cos(x) = 0

Факторизуем уравнение:

cos(x)(1 + 2sin(x)) = 0

Теперь решим два уравнения отдельно:

1. cos(x) = 0

Для этого уравнения решения будут x = π/2 + kπ, где k - целое число.

2. 1 + 2sin(x) = 0

Выразим sin(x):

2sin(x) = -1

sin(x) = -1/2

Для этого уравнения решения будут x = 7π/6 + 2kπ и x = 11π/6 + 2kπ, где k - целое число.

Таким образом, общие решения исходной системы уравнений будут:

x = π/2 + kπ, где k - целое число, и x = 7π/6 + 2kπ, где k - целое число, и x = 11π/6 + 2kπ, где k - целое число.