Question

В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 4, а угол между боковой гранью и плоскостью основания равен 600. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Answer 1

В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 4, а угол между боковой гранью и плоскостью основания равен 600. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится знание о треугольниках и тригонометрии. Поскольку угол между боковой гранью и плоскостью основания равен 60°, а сторона основания равна 4, мы можем использовать тригонометрические соотношения, чтобы найти высоту пирамиды.

Обозначим высоту пирамиды как h, а половину длины боковой грани как a (так как у нас равносторонний треугольник). Тогда мы можем записать тригонометрическое соотношение для этого треугольника:

$\tan(60^\circ) = \frac{h}{a}.$

Так как $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$, получаем:

$\sqrt{3} = \frac{h}{a}.$

Теперь, используя теорему Пифагора для боковой грани, можем найти длину a:

$a^2 + h^2 = 4^2.$

$a^2 + (\sqrt{3} \cdot a)^2 = 16.$

$a^2 + 3a^2 = 16.$

$4a^2 = 16.$

$a^2 = 4.$

$a = \sqrt{4} = 2.$

Теперь, найдем высоту h:

$h = \sqrt{3} \cdot a = \sqrt{3} \cdot 2 = 2\sqrt{3}.$

Теперь, когда у нас есть высота, мы можем найти площадь боковой поверхности пирамиды. Площадь боковой поверхности равна половине периметра основания, умноженной на высоту.

Периметр основания равно $4 + 4 + 4 + 4 = 16$.

Площадь боковой поверхности:

$S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \times \text{периметр} \times \text{высота} = \frac{1}{2} \times 16 \times 2\sqrt{3} = 8\sqrt{3}.$

Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды равна $8\sqrt{3}$ квадратных единиц.