Question

Медианы аа1 и вв1 треугольника АВС перпендикулярны друг другу. Найти все три медианы если AB=10 и AC=4корень из 13

Answer 1

Ответ:

     AA₁ = 9 см

     ВВ₁ = 12 см

     СС₁ = 15 см

Объяснение:

Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Обозначим ОА₁ - х, тогда ОА = 2х,

ОВ₁ = у, тогда ОВ = 2у.

Из двух прямоугольных треугольников АОВ и АОВ₁ составим уравнения по теореме Пифагора.

4x² + 4y² = 100

4x² + y² = (2√13)² = 52

Вычтем из первого уравнения второе:

3y² = 48

y² = 16

y = 4

4x² = 100 - 4y²

x² = 25 - y²

x = √(25 - 16)

x = 3

AA₁ = 3x = 9 см

ВВ₁ = 3у = 12 см

ОС₁ - медиана прямоугольного треугольника АОВ, проведенная к гипотенузе, значит равна ее половине:

ОС₁ = 1/2 AB = 5 см

СС₁ = 5 · 3 = 15 см

Answer 2

Для начала, давайте определим медианы треугольника. Медианы - это линии, соединяющие каждую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. При этом, медиана делит сторону пополам. Обозначим медианы треугольника ABC как AA1, BB1 и CC1. Условие, что медианы AA1 и ВВ1 перпендикулярны друг другу, говорит о том, что они образуют прямой угол.

При нахождении медианы, можно использовать формулу для её длины, которая гласит: Медиана AA1: $AA1 = \frac{\sqrt{2(B^2 + C^2) - A^2}}{2}$ Медиана ВВ1: $BB1 = \frac{\sqrt{2(A^2 + C^2) - B^2}}{2}$ Медиана CC1: $CC1 = \frac{\sqrt{2(A^2 + B^2) - C^2}}{2}$

Где A, B и C - длины сторон треугольника.

Теперь, подставим значения сторон, которые нам даны: AB = 10 и AC = 4√13.

$AA1 = \frac{\sqrt{2(10^2 + (4\sqrt{13})^2) - (4\sqrt{13})^2}}{2}$ $BB1 = \frac{\sqrt{2((10)^2 + (4\sqrt{13})^2) - (10)^2}}{2}$ $CC1 = \frac{\sqrt{2((10)^2 + (4\sqrt{13})^2) - (4\sqrt{13})^2}}{2}$

$AA1 = \frac{\sqrt{2(100 + 4 \cdot 13) - 4 \cdot 13}}{2}$ $BB1 = \frac{\sqrt{2(100 + 4 \cdot 13) - 100}}{2}$ $CC1 = \frac{\sqrt{2(100 + 4 \cdot 13) - 4 \cdot 13}}{2}$

$AA1 = \frac{\sqrt{2(100 + 52) - 52}}{2}$ $BB1 = \frac{\sqrt{2(100 + 52) - 100}}{2}$ $CC1 = \frac{\sqrt{2(100 + 52) - 52}}{2}$

$AA1 = \frac{\sqrt{2 \cdot 152 - 52}}{2}$ $BB1 = \frac{\sqrt{2 \cdot 152 - 100}}{2}$ $CC1 = \frac{\sqrt{2 \cdot 152 - 52}}{2}$