Question

E,F,K,L середины сторон четырехугольника ABCD . докажите что сумма площадей треугольников ALM NBE,PCF,KQD равна площади четырехугольника MNPQ

Answer 1

на фотке..............................................

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом координат.

Предположим, что вершины четырехугольника ABCD имеют координаты: A(xA, yA), B(xB, yB), C(xC, yC), D(xD, yD).

Тогда середины сторон E, F, K, L имеют координаты: E(xE, yE) = ((xA + xB) / 2, (yA + yB) / 2), F(xF, yF) = ((xB + xC) / 2, (yB + yC) / 2), K(xK, yK) = ((xC + xD) / 2, (yC + yD) / 2), L(xL, yL) = ((xD + xA) / 2, (yD + yA) / 2).

Теперь найдем координаты точек M, N, P, Q. Для этого найдем середины отрезков AL, BE, CF и DQ: M(xM, yM) = ((xA + xL) / 2, (yA + yL) / 2), N(xN, yN) = ((xB + xE) / 2, (yB + yE) / 2), P(xP, yP) = ((xC + xF) / 2, (yC + yF) / 2), Q(xQ, yQ) = ((xD + xK) / 2, (yD + yK) / 2).

Теперь у нас есть координаты всех точек. Мы знаем, что площадь треугольника можно вычислить по формуле:

Площадь треугольника = |(x1*(y2 - y3) + x2*(y3 - y1) + x3*(y1 - y2)) / 2|

Теперь мы можем вычислить площади треугольников ALM, NBE, PCF и KQD. Далее, найдем площадь четырехугольника MNPQ.

Площадь четырехугольника MNPQ = Площадь треугольника ALM + Площадь треугольника NBE + Площадь треугольника PCF + Площадь треугольника KQD

Если сумма площадей треугольников ALM, NBE, PCF и KQD равна площади четырехугольника MNPQ, то утверждение будет доказано.