Question

Определите угол В треугольника АВС, если его вершины имеют координаты A(1;5;3),B(3;3;2), C(3;6;5).

Answer 1

CosB = (AB•BC)/(|AB|•|BC|)

AB = (3-1,3-5,2-3) = (2,-2,-1)
|AB| = sqrt(4+4+1) = sqrt(9) = 3

BC = (3-3,6-3,5-2) = (0,3,3)
|BC| = sqrt(0+9+9) = sqrt(18) = 2sqrt(3)

AB*BC = 2*0 + (-2)*3 + (-1)*3 = -6 - 3 = -9
$cos\beta = \frac{ - 9}{3 \times 2 \sqrt{3} } = \frac{ - 9 \sqrt{3} }{18} = - \frac{ \sqrt{3} }{2}$
$\beta = 150$

Answer 2

Для определения угла В треугольника АВС, мы можем использовать координаты его вершин и теорию векторов. Угол между двумя векторами можно найти, используя скалярное произведение векторов.

Пусть векторы AB и BC - это векторы, идущие от вершины A к вершине B и от вершины B к вершине C соответственно. Тогда угол между ними, угол В, определяется следующим образом:

cos(угол В) = (AB * BC) / (|AB| * |BC|)

где AB * BC - скалярное произведение векторов AB и BC, |AB| и |BC| - длины векторов AB и BC соответственно.

Теперь вычислим значения векторов AB и BC:

AB = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) = (3 - 1, 3 - 5, 2 - 3) = (2, -2, -1) BC = (x_C - x_B, y_C - y_B, z_C - z_B) = (3 - 3, 6 - 3, 5 - 2) = (0, 3, 3)

Теперь найдем длины векторов AB и BC:

|AB| = √(2^2 + (-2)^2 + (-1)^2) = √(4 + 4 + 1) = √9 = 3 |BC| = √0^2 + 3^2 + 3^2) = √(0 + 9 + 9) = √18 ≈ 4.24

Теперь найдем скалярное произведение векторов AB и BC:

AB * BC = 2*0 + (-2)*3 + (-1)*3 = 0 - 6 - 3 = -9

Теперь можем найти cos(угол В):

cos(угол В) = (-9) / (3 * 4.24) ≈ -0.667

Итак, cos(угол В) ≈ -0.667. Чтобы найти угол В, возьмем обратный косинус от этого значения:

угол В ≈ arccos(-0.667) ≈ 130.5°

Таким образом, угол В треугольника АВС примерно равен 130.5°.