Question

4) На продолжении диагонали AC квадрата ABCD отложены равные отрезки AM и CN. Доказать MBND-ромб.

Answer 1

Квадрат является ромбом - его диагонали перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.

AC⊥BD, BO=OD, AO=OC

AM=CN (по условию)

AM+AO=OC+CN <=> MO=ON

Диагонали MBND перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам => MBND - ромб.

Answer 2

Для доказательства того, что MBND - ромб, нужно показать, что его стороны равны друг другу.

Дано: Квадрат ABCD, на продолжении диагонали AC отложены равные отрезки AM и CN (то есть AM = CN).

Чтобы доказать, что MBND - ромб, нужно проверить следующие утверждения:

1. MB = BN (противоположные стороны ромба равны).
2. MD = ND (противоположные стороны ромба равны).
3. MB || ND (противоположные стороны ромба параллельны).

Доказательство:

1. Из условия квадрата ABCD известно, что AB = BC = CD = AD. Так как AM - продолжение диагонали AC, то AM также равен этим сторонам: AM = AB = BC = CD = AD. Теперь рассмотрим треугольник ABM. У него две стороны равны: AB = AM (по условию) и BM - общая сторона. Значит, треугольник ABM равнобедренный, и у него угол между сторонами AM и BM равен углу между сторонами AB и BM.

2. Рассмотрим треугольник BCN. У него две стороны равны: BC = CN (по условию) и BN - общая сторона. Значит, треугольник BCN также равнобедренный, и у него угол между сторонами CN и BN равен углу между сторонами BC и BN.

3. Так как ABCD - квадрат, то угол ABC прямой (равен 90°). Это означает, что углы ABM и BCN тоже прямые.

Теперь сравним треугольники ABM и BCN:

• AM = CN (по условию)
• AB = BC (по свойству квадрата)
• Угол ABM = углу BCN (они прямые, как части угла ABC)
• Из двух равнобедренных треугольников ABM и BCN следует, что они подобны.

Так как треугольники ABM и BCN подобны, отношение длин боковых сторон равно отношению длин оснований:

MB / BN = AM / CN.

Из условия AM = CN следует, что MB = BN.

Таким образом, мы доказали, что MB = BN, и это выполняется для любой точки M на продолжении диагонали AC.

4. Также, из того, что AM = CN, следует, что треугольники ADM и CBN равны (по двум сторонам и углу между ними).

5. Значит, MD = BN (по свойству равных треугольников).

Теперь у нас есть MB = BN и MD = BN, что означает, что все стороны MBND равны друг другу.

6. Наконец, мы знаем, что квадрат ABCD имеет противоположные стороны параллельными. Как мы показали выше, MB = BN и MD = BN. Значит, MB || ND (противоположные стороны параллельны).

Таким образом, все утверждения выполняются, и MBND является ромбом.