Question

две окружности касаются внешним образом.их общие касательные наклонены к линии центров под углом 30 град.,длинна отрезка касательной между точками касания 108 см.Найти радиусы окружностей.

Answer 1

Проведем радиусы в точки касания. △OAB, △OCD - прямоугольные с углом 30, стороны относятся как 1:√3:2.

AB=OB/2

CD=OD/2 =OE =3AB (CD=ED, AB=EB - радиусы)

OC=3OA (△OAB~△OCD)

OC-OA=108 <=> OA=108/2 =54

AB=OA/√3 =54/√3 =18√3

CD=54√3

Answer 2

Давайте обозначим радиусы двух окружностей через $r_1$ и $r_2$. Также пусть $O_1$ и $O_2$ - центры соответствующих окружностей.

Мы знаем, что общие касательные к двум окружностям, проведенные из точек касания, проходят через точку центра линии центров (прямая, соединяющая $O_1$ и $O_2$). Из-за этого угол между общими касательными и линией центров равен 30 градусов.

Также дано, что длина отрезка касательной между точками касания равна 108 см.

Для решения этой задачи, давайте рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусами окружностей, линией центров и отрезком касательной между точками касания.

По условию, у нас есть следующее:

1. $\angle O_1TO_2 = 30^\circ$.
2. $OT = 108 \text{ см}$ (длина отрезка касательной между точками касания).

Рассмотрим прямоугольный треугольник $TO_1O_2$:

1. Пусть $OT = a$.
2. Пусть $O_1O_2 = d$ (расстояние между центрами окружностей).

Тогда $O_1T = O_2T = a$ (так как треугольник равнобедренный).

Мы знаем, что угол $\angle O_1TO_2 = 30^\circ$, а также, что треугольник прямоугольный.

Теперь можем записать уравнение для тангенса угла $\angle O_1TO_2$:

$\tan(30^\circ) = \frac{O_1O_2}{O_1T} = \frac{d}{a}.$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $O_1TQ$, где $Q$ - точка касания окружности с радиусом $r_1$.

Мы знаем, что $O_1T = a$, $TQ = r_1$, и $O_1Q = r_1$ (так как треугольник равнобедренный).

Теперь можем записать уравнение для тангенса угла $\angle O_1TQ$:

$\tan(30^\circ) = \frac{O_1Q}{O_1T} = \frac{r_1}{a}.$

Мы получили два уравнения:

$\tan(30^\circ) = \frac{d}{a},$ $\tan(30^\circ) = \frac{r_1}{a}.$

Так как оба равенства равны $\tan(30^\circ)$, они равны друг другу:

$\frac{d}{a} = \frac{r_1}{a}.$

Теперь можем решить это уравнение относительно $r_1$:

$r_1 = d.$

Теперь у нас есть выражение для радиуса $r_1$ через расстояние между центрами окружностей $d$.

Наконец, для нахождения радиуса $r_2$ воспользуемся тем, что окружности касаются внешним образом, значит, расстояние между центрами равно сумме радиусов:

$d = r_1 + r_2.$

Теперь мы можем найти $r_2$:

$r_2 = d - r_1 = d - d = 0.$

Итак, радиус второй окружности $r_2$ равен 0.

Теперь, когда мы знаем ${}_{}$ 0 0