Question

высота прямоугольного треугольника проведенная к вершине прямого угла делит гипотенузу в отношении 2:3 найти отношения катетов к гипотенузе

Answer 1

Дано: ∆ ABC , угол АСВ = 90°, AD : DC = 3 : 2

Найти: АС/AB , CB/AB
____________________________

Решение:

Вспомним тему из геометрии " Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике", отсюда

АС² = AD × AB = 3х × 5х = 15х²
АС = х√15

ВС² = BD × AB = 2x × 5x = 10x²
BC = x√10

Значит, АС/ AB = x√15/ 5x = √15/5
CB/ AB = x√10/ 5x = √10/5

Ответ: √15/5, √10/5

Answer 2

Пусть высота, проведенная к вершине прямого угла, делит гипотенузу на две части, и одна из этих частей равна x, а другая равна y. Тогда из условия задачи следует, что:

Отношение высоты к гипотенузе: x:y = 2:3

Так как треугольник прямоугольный, применим теорему Пифагора, которая гласит: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

a^2 + b^2 = c^2

Где a и b - катеты, c - гипотенуза.

Мы можем записать отношение катетов к гипотенузе следующим образом:

Квадраты катетов: a^2 = x, b^2 = y

Квадрат гипотенузы: c^2 = x + y

Теперь подставим отношение высоты к гипотенузе в квадрат гипотенузы:

c^2 = x + y = (2/3)y + y = (2/3 + 1)y = (5/3)y

Таким образом, получаем, что c^2 = (5/3)y.

Теперь можно выразить отношение катетов к гипотенузе:

a^2/c^2 = x/(5/3)y

a^2/c^2 = 3x/5y

Так как a^2 = x, подставим это значение:

x/c^2 = 3x/5y

Теперь найдем отношение катетов к гипотенузе:

a^2/c^2 = 3x/5y

a^2/c^2 = 3x/5y

a^2/c^2 = 3/(5/3)

a^2/c^2 = 3 * 3/5

a^2/c^2 = 9/5

Таким образом, отношение катета к гипотенузе равно 9:5.