Question

В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит гипотенузу в отношении 3:2. Найдите отношения проекций катетов на гипотенузу.

Answer 1

один катет 3х, другой 2х

Тогда гипотенуза x√13

Answer 2

Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.

a/b =3/2 (a, b - катеты).

Высота из прямого угла делит гипотенузу на отрезки Ca=a^2/c; Cb=b^2/c (Сa, Cb - проекции катетов).

Ca/Cb =a^2/b^2 =(3/2)^2 =9/4

Answer 3

Пусть в прямоугольном треугольнике ABC прямой угол находится в вершине C. Пусть CD — биссектриса этого угла, где D лежит на гипотенузе AB.

Мы знаем, что биссектриса угла делит противоположную сторону треугольника на две части пропорционально прилежащим сторонам. То есть:

AC/BC = AD/BD

Мы также знаем, что AC = 3x и BC = 2x, где x — коэффициент пропорциональности. Заметим, что AD и BD — это проекции катетов на гипотенузу, обозначим их как h1 и h2 соответственно.

Теперь у нас есть два уравнения:

1. 3x/2x = h1/h2
2. AC + BC = AB

Так как треугольник прямоугольный, применим теорему Пифагора:

AB^2 = AC^2 + BC^2 AB^2 = (3x)^2 + (2x)^2 AB^2 = 9x^2 + 4x^2 AB^2 = 13x^2

AB = √(13x^2)

Теперь мы можем найти отношение h1/h2 из первого уравнения:

3x/2x = h1/h2 h1/h2 = 3/2

Таким образом, отношение проекций катетов на гипотенузу равно 3:2.