Question

Точки E и K - середины сторон AD и DC параллелокграмма ABCD соответственно . Из его вершины B на отрезок EK опустили перпендикуляр BH. На стороне BC выбрана точка F такая, что углы FHK и KED равны. Найдите BF : FC

Answer 1

У меня чудом в телефоне осталось решение такой задачи, но качества так себе. Посмотрите.

Answer 2

Для решения этой задачи давайте воспользуемся координатной геометрией. Предположим, что координаты точек A, B, C и D параллелограмма ABCD равны (0,0), (a,0), (a+b,c) и (b,c) соответственно, где a и b - это длины отрезков AD и DC, а c - высота параллелограмма.

Так как E и K - середины сторон AD и DC соответственно, то их координаты равны (a/2, 0) и ((a+b)/2, c/2) соответственно.

Перпендикуляр BH к EK будет иметь ту же координату x, что и точка B, и координату y, равную высоте параллелограмма c.

Теперь, нам нужно найти точку F на стороне BC такую, что углы FHK и KED равны. Поскольку углы FHK и KED равны, то треугольники KHE и KED подобны, и соответственные стороны пропорциональны.

Пусть BF = x и FC = a + b - x (так как BF и FC составляют сторону BC).

Теперь можем записать пропорцию для подобных треугольников:

$\frac{KH}{KE} = \frac{FH}{DE}$

Где KH = c (высота параллелограмма), KE = c/2, FH = x - a/2 и DE = a/2.

$\frac{c}{c/2} = \frac{x - a/2}{a/2}$

Решим уравнение:

$2 = \frac{x - a/2}{a/2}$

$2 \cdot \frac{a}{2} = x - \frac{a}{2}$

$x = \frac{a}{2} + \frac{a}{2} = a$

Таким образом, BF = a, а FC = a + b - a = b. Таким образом, отношение BF : FC равно:

$\frac{BF}{FC} = \frac{a}{b}$

Ответ: BF : FC = a : b.