Question

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания равна 2, а боковое ребро равно 3. На ребре CC1 взята точка K так, что CK=1. Найдите расстояние от точки A1 до прямой BK

Answer 1

ΔА₁AB

A₁B = √(9 +4) = √13

ΔА₁KC₁

A₁K = √(4 +4) = √8

ΔBCK

BK = √(4 +1) = √5

ΔА₁KB - все стороны известны. Нас просят найти в нём высоту А₁Х

А₁Х = ?

дважды т. Пифагора. А₁Х = √3

Answer 2

Для начала, давайте представим себе трехмерную координатную систему, где вершины призмы ABCA1B1C1 расположены следующим образом:

A(0, 0, 0), B(2, 0, 0), C(1, √3, 0) A1(0, 0, 3), B1(2, 0, 3), C1(1, √3, 3)

Так как призма правильная, высота равно √3 единицы, а боковое ребро равно 3 единицы.

Теперь найдем уравнение прямой BK.

Для этого, найдем векторное уравнение прямой BK через точки B(2, 0, 0) и K(1, √3, 3).

Векторное уравнение прямой через две точки P(x1, y1, z1) и Q(x2, y2, z2) задается следующим образом:

r = P + t(Q - P)

где r - точка на прямой, t - параметр, P - точка B(2, 0, 0), Q - точка K(1, √3, 3).

Теперь подставим значения:

r = B + t(K - B) r = (2, 0, 0) + t((1, √3, 3) - (2, 0, 0)) r = (2, 0, 0) + t(-1, √3, 3)

Теперь находим расстояние от точки A1(0, 0, 3) до прямой BK. Для этого найдем перпендикуляр из точки A1 на прямую BK и найдем его длину.

Вектор направления прямой BK = (-1, √3, 3).

Пусть точка P(x, y, z) лежит на перпендикуляре из A1 на прямую BK.

Тогда вектор AP будет коллинеарен с направлением прямой BK, и их скалярное произведение будет равно 0:

AP * BK = 0

(x, y, z - 3) * (-1, √3, 3) = 0

-1(x) + √3(y) + 3(z - 3) = 0

Теперь нам нужно найти точку пересечения прямой BK и перпендикуляра из A1 на эту прямую.

Подставим выражение для r в уравнение перпендикуляра:

-1(2 + t) + √3(√3t) + 3(3t - 3 - 3) = 0

-2 - t + 3√3t + 9t - 18 = 0

(12 + 2√3)t = 20

t = 20 / (12 + 2√3)

Теперь найдем координаты точки пересечения:

x = 2 + t = 2 + 20 / (12 + 2√3) y = √3t = √3 * 20 / (12 + 2√3) z = 3 + 3t = 3 + 3 * 20 / (12 + 2√3)

Теперь вычислим расстояние от A1 до точки пересечения, чтобы получить расстояние от A1 до прямой BK:

Расстояние = √[(x - 0)^2 + (y - 0)^2 + (z - 3)^2]

Подставляем значения и вычисляем:

Расстояние = √[(2 + 20 / (12 + 2√3))^2 + (√3 * 20 / (12 + 2√3))^2 + (3 + 3 * 20 / (12 + 2√3) - 3)^2]

Расстояние ≈ 2.794 единицы.

Таким образом, расстояние от точки A1 до прямой BK составляет около 2.794 единицы.