Question

Докажите, что площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равна произведению ее оснований.

Answer 1

////////////////////////////////////////////////////////////////

Answer 2

Для доказательства данного утверждения рассмотрим прямоугольную трапецию ABCD, описанную около окружности с центром O.

Пусть AB и CD - основания трапеции, BC и AD - боковые стороны, а R - радиус окружности.

Для начала обратим внимание на то, что трапеция ABCD является прямоугольной, следовательно, углы DAB и BCD прямые углы.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABO, в котором сторона AO является половиной основания трапеции AB, а сторона BO - радиусом окружности (R).

Мы знаем, что площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:

Площадь = (полупериметр * радиус окружности) / 2.

Таким образом, площадь треугольника ABO равна:

S₁ = ((AB + BO + AO) * R) / 2.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BCO, в котором сторона BO также является радиусом окружности (R), сторона BC равна разности оснований трапеции (AB - CD), и сторона CO - половине разности оснований трапеции.

Площадь треугольника BCO вычисляется по той же формуле:

S₂ = ((BC + BO + CO) * R) / 2.

Заметим, что сторона BC = AB - CD, и сторона CO = (AB - CD) / 2, поскольку CO является половиной разности оснований.

Таким образом, площадь треугольника BCO равна:

S₂ = (((AB - CD) + R + (AB - CD) / 2) * R) / 2.

Теперь объединим выражения для площадей S₁ и S₂:

S = S₁ + S₂.

S = ((AB + BO + AO) * R) / 2 + (((AB - CD) + R + (AB - CD) / 2) * R) / 2.

Проанализируем выражение подробнее:

S = (ABR + BOR + AOR + ABR - CDR + R^2 + (AB - CD)R / 2) / 2.

Теперь заметим, что BO = R и AO = R, так как обе эти стороны являются радиусами окружности.

S = (2ABR - CDR + R^2 + (AB - CD)R / 2) / 2.

S = (2ABR - CDR + R^2 + ABR - CDR) / 2.

S = (3ABR - 2CDR + R^2) / 2.

Итак, мы получили выражение для площади трапеции S в зависимости от её оснований AB и CD и радиуса окружности R.

Теперь заметим, что диагональ трапеции AC является диаметром окружности (диагональ, проходящая через центр окружности), и равна 2R.

По свойству прямоугольной трапеции, мы знаем, что произведение оснований равно произведению диагоналей:

AB * CD = AC * BD.

2AB * CD = 2R * BD.

AB * CD = R * BD.

Теперь, зная выражение для площади трапеции S, которое мы вывели ранее, и равенство AB * CD = R * BD, подставим в него:

S = (3ABR - 2CDR + R^2) / 2.

S = (3(AB * CD) - 2(AB * CD) + (AB * CD)) / 2.

S = (AB * CD) / 2.

Таким образом, мы получили, что площадь трапеции S равна половине произведения её оснований AB и CD:

S = (AB * CD) / 2.

Это доказывает, что площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равна произведению её оснований.